Escreva o polinômio (nas variáveis x e y )
F(x, y)=(x^3-3 x y^2)+i(-3 x^2+y^3)
como um polinômio nas variáveis z e z.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para reescrever o polinômio $ F(x, y) = \left(x^{3} - 3xy^{2}\right) + i\left(-3x^{2} + y^{3}\right) $ nas variáveis $ z $ e $ \overline{z} $. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, onde $ z = x + iy $ e $ \overline{z} = x - iy $. Precisamos expressar $ x $ e $ y $ em termos de $ z $ e $ \overline{z} $ para substituir no polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar fórmulas que relacionam $ x $ e $ y $ com $ z $ e $ \overline{z} $. Sabemos que:
x
Para isolar $ x $ e $ y $, somamos e subtraímos essas equações:
  • Somando $ z $ e $ \overline{z} $:
y
  • Subtraindo $ \overline{z} $ de $ z $:
z
Essas fórmulas nos permitem expressar $ x $ e $ y $ em termos de $ z $ e $ \overline{z} $.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões no polinômio $ F(x, y) $. Primeiramente, reescrevemos $ F(x, y) $:
F(x, y)
Substituindo $ x = \frac{z + \overline{z}}{2} $ e $ y = \frac{z - \overline{z}}{2i} $, temos:
F(x, y)

Passo 4

Vamos simplificar cada parte passo a passo. Primeiro, calculamos cada termo individualmente:
  1. Primeiro termo: $ \left(\frac{z + \overline{z}}{2}\right)^{3} $
Expandindo:
(z + z2)^3
  1. Segundo termo: $ -3 \cdot \frac{z + \overline{z}}{2} \cdot \left(\frac{z - \overline{z}}{2i}\right)^{2} $
Primeiro, calculamos $ \left(\frac{z - \overline{z}}{2i}\right)^{2} $:
(z + z2)^3 = (z + z)^38 = z^3 + 3z^2z + 3zz^2 + z^38
Multiplicando por $ -3 \cdot \frac{z + \overline{z}}{2} $:
-3 cdot z + z2 cdot (z - z2i)^2
  1. Terceiro termo: $ i \cdot \left(-3 \cdot \left(\frac{z + \overline{z}}{2}\right)^{2}\right) $
Expandindo:
(z - z2i)^2
Multiplicando por $ i $:
(z - z2i)^2 = (z - z)^24i^2 = z^2 - 2zz + z^24(-1) = -z^2 - 2zz + z^24
  1. Quarto termo: $ i \cdot \left(\frac{z - \overline{z}}{2i}\right)^{3} $
Calculando:
-3 cdot z + z2
Multiplicando por $ i $:
-3 cdot z + z2 cdot (-z^2 - 2zz + z^24) = 3(z + z)(z^2 - 2zz + z^2)8

Passo 5

Agora, vamos somar todos os termos simplificados:
F(z, z) = (z^3 + 3z^2z + 3zz^2 + z^38) + (3(z + z)(z^2 - 2zz + z^2)8) - 3i(z^2 + 2zz + z^2)4 - z^3 - 3z^2z + 3zz^2 - z^38
Observamos que alguns termos se cancelam. Simplificando:
F(z, z) = 3zz^2 + 3z^38 + 3z^3 + 3zz^28 - 3i(z^2 + 2zz + z^2)4 - z^3 - 3z^2z + 3zz^2 - z^38
Finalizando as operações e combinando termos semelhantes, obtemos:
F(z, z) = 2z^3 + 6zz^2 + 2z^38 - 3i(z^2 + 2zz + z^2)4
Simplificando os coeficientes:
F(z, z) = z^3 + 3zz^2 + z^34 - 3i(z^2 + 2zz + z^2)4

Resposta

Portanto, o polinômio $ F(x, y) $ reescrito nas variáveis $ z $ e $ \overline{z} $ é:
F(x, y)

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