Escreva o polinômio (nas variáveis
e
)
como um polinômio nas variáveis
e
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para reescrever o polinômio $ F(x, y) = \left(x^{3} - 3xy^{2}\right) + i\left(-3x^{2} + y^{3}\right) $ nas variáveis $ z $ e $ \overline{z} $. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, onde $ z = x + iy $ e $ \overline{z} = x - iy $. Precisamos expressar $ x $ e $ y $ em termos de $ z $ e $ \overline{z} $ para substituir no polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar fórmulas que relacionam $ x $ e $ y $ com $ z $ e $ \overline{z} $. Sabemos que:
Para isolar $ x $ e $ y $, somamos e subtraímos essas equações:
- Somando $ z $ e $ \overline{z} $:
- Subtraindo $ \overline{z} $ de $ z $:
Essas fórmulas nos permitem expressar $ x $ e $ y $ em termos de $ z $ e $ \overline{z} $.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões no polinômio $ F(x, y) $. Primeiramente, reescrevemos $ F(x, y) $:
Substituindo $ x = \frac{z + \overline{z}}{2} $ e $ y = \frac{z - \overline{z}}{2i} $, temos:
Passo 4
Vamos simplificar cada parte passo a passo. Primeiro, calculamos cada termo individualmente:
- Primeiro termo: $ \left(\frac{z + \overline{z}}{2}\right)^{3} $
Expandindo:
- Segundo termo: $ -3 \cdot \frac{z + \overline{z}}{2} \cdot \left(\frac{z - \overline{z}}{2i}\right)^{2} $
Primeiro, calculamos $ \left(\frac{z - \overline{z}}{2i}\right)^{2} $:
Multiplicando por $ -3 \cdot \frac{z + \overline{z}}{2} $:
- Terceiro termo: $ i \cdot \left(-3 \cdot \left(\frac{z + \overline{z}}{2}\right)^{2}\right) $
Expandindo:
Multiplicando por $ i $:
- Quarto termo: $ i \cdot \left(\frac{z - \overline{z}}{2i}\right)^{3} $
Calculando:
Multiplicando por $ i $:
Passo 5
Agora, vamos somar todos os termos simplificados:
Observamos que alguns termos se cancelam. Simplificando:
Finalizando as operações e combinando termos semelhantes, obtemos:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
Portanto, o polinômio $ F(x, y) $ reescrito nas variáveis $ z $ e $ \overline{z} $ é: