Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - Queremos o valor numérico exato da integral definida.
Passo 2
Estratégia (resumida): usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se
em
então
Então precisamos encontrar uma primitiva
da função
. Vou achar primitivas termo a termo e depois aplicar
.
Passo 3
Primitiva do primeiro termo
.
Regra usada: a regra da potência para integrais diz que, para
,
Aqui
, então
Explicando: aumentamos o expoente de
para
e dividimos por
.
Passo 4
Primitiva do segundo termo
.
Observação:
. Então
Agora precisamos lembrar a derivada da função
. Tomando
e aplicando a regra do quociente:
Portanto
, o que implica
Assim
Passo 5
Juntando as primitivas dos dois termos, uma primitiva
de
é
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Passo 6
Agora vamos avaliar
nos extremos. Primeiro calculamos os valores de
nos pontos:
- Para
: e . Então
- Para
: e . Então
Agora as parcelas quadráticas:
Portanto
Passo 7
Subtraindo
de
:
Calcule separadamente as partes:
- Para o termo com
:
- Para os termos com
:
Somando as duas partes obtemos o resultado final: