Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{\pi / 6}^{\pi / 3}\left(x+\frac{2}{\operatorname{sen}^{2} x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida
\int_{\pi/6}^{\pi/3}\left(x+\frac{2}{\operatorname{sen}^{2}x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x+\dfrac{2}{\operatorname{sen}^{2}x}.
  • Os limites de integração são a=\pi/6 e b=\pi/3.
  • Queremos o valor numérico exato da integral definida.

Passo 2

Estratégia (resumida): usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se F'(x)=f(x) em [a,b] então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Então precisamos encontrar uma primitiva F(x) da função f(x)=x+\dfrac{2}{\operatorname{sen}^{2}x}. Vou achar primitivas termo a termo e depois aplicar F(b)-F(a).

Passo 3

Primitiva do primeiro termo x.
Regra usada: a regra da potência para integrais diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aqui x = x^{1}, então
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Explicando: aumentamos o expoente de 1 para 2 e dividimos por 2.

Passo 4

Primitiva do segundo termo \dfrac{2}{\operatorname{sen}^{2}x}.
Observação: \dfrac{1}{\operatorname{sen}^{2}x}=\csc^{2}x. Então
\int \frac{2}{\operatorname{sen}^{2}x}\,dx = 2\int \csc^{2}x\,dx.
Agora precisamos lembrar a derivada da função \cot x. Tomando \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e aplicando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\cot x = \frac{-\sin x\cdot \sin x - \cos x\cdot \cos x}{\sin^{2}x} = -\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin^{2}x} = -\frac{1}{\sin^{2}x} = -\csc^{2}x.
Portanto \dfrac{d}{dx}\cot x = -\csc^{2}x, o que implica
\int \csc^{2}x\,dx = -\cot x + C.
Assim
2\int \csc^{2}x\,dx = -2\cot x + C.

Passo 5

Juntando as primitivas dos dois termos, uma primitiva F(x) de f(x) é
F(x)=\frac{x^{2}}{2} - 2\cot x.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{\pi/6}^{\pi/3}\left(x+\frac{2}{\operatorname{sen}^{2}x}\right)\,dx = F\!\left(\frac{\pi}{3}\right)-F\!\left(\frac{\pi}{6}\right).

Passo 6

Agora vamos avaliar F nos extremos. Primeiro calculamos os valores de \cot nos pontos:
  • Para x=\dfrac{\pi}{3}: \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}. Então
\cot\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\cos(\pi/3)}{\sin(\pi/3)}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
  • Para x=\dfrac{\pi}{6}: \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2} e \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
\cot\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\cos(\pi/6)}{\sin(\pi/6)}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}.
Agora as parcelas quadráticas:
\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)^{2}=\frac{\pi^{2}}{18}, \qquad \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}\right)^{2}=\frac{\pi^{2}}{72}.
Portanto
F\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi^{2}}{18}-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi^{2}}{18}-\frac{2\sqrt{3}}{3},
F\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi^{2}}{72}-2\cdot\sqrt{3}=\frac{\pi^{2}}{72}-2\sqrt{3}.

Passo 7

Subtraindo F(\pi/6) de F(\pi/3):
F\!\left(\frac{\pi}{3}\right)-F\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{\pi^{2}}{18}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) - \left(\frac{\pi^{2}}{72}-2\sqrt{3}\right).
Calcule separadamente as partes:
  • Para o termo com \pi^{2}:
\frac{\pi^{2}}{18}-\frac{\pi^{2}}{72}=\left(\frac{4\pi^{2}}{72}-\frac{\pi^{2}}{72}\right)=\frac{3\pi^{2}}{72}=\frac{\pi^{2}}{24}.
  • Para os termos com \sqrt{3}:
-\frac{2\sqrt{3}}{3} - (-2\sqrt{3}) = -\frac{2\sqrt{3}}{3} + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\left(1-\frac{1}{3}\right)=2\sqrt{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.
Somando as duas partes obtemos o resultado final:
\frac{\pi^{2}}{24}+\frac{4\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\frac{\pi^{2}}{24}+\frac{4\sqrt{3}}{3}

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