Questão 2 [13 pontos]: Calcule a transformada de Fourier da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: "Calcule a transformada de Fourier de
". As informações relevantes que temos são:
Não há figura nem tabela. A questão é única: encontrar a transformada de Fourier de
.
Passo 2
Vou usar a convenção de transformada de Fourier
onde
é a variável de frequência (real).\n
Estratégia: escrever como combinação de termos mais simples cuja transformada a gente conhece ou consegue achar facilmente. Observe que
Estratégia: escrever
Se soubermos
e soubermos como a multiplicação por
no domínio do tempo se reflete no domínio da frequência, podemos montar
. Vou então:
- calcular
para (transformada da gaussiana), e - usar a propriedade que relaciona multiplicação por
(ou ) com derivadas em .
Passo 3
Cálculo da transformada da gaussiana
.
Começamos com a integral
Fazemos completar o quadrado no expoente:
Portanto
Ao integrar em
sobre toda a reta, a mudança de variável
desloca a reta no plano complexo, mas para a gaussiana essa translação não altera o valor da integral (pode-se justificar por contorno ou pelo fato conhecido
). Assim
Logo
Passo 4
Propriedade que liga multiplicação por
a derivadas em
.
Começo da prova simples (válida sob hipóteses usuais de decaimento, satisfeitas aqui): calcule a derivada de
em
:
Reorganizando:
Aplicando isso de novo para
: derive duas vezes
Portanto
Essas duas fórmulas são o que precisamos.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso:
. Então, usando linearidade da transformada,
Pela propriedade do passo anterior,
Logo
Recordando
, vamos derivar:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Derivando produto (mostrando passo a passo):
Simplificando:
Passo 6
Agora voltamos para
:
Juntando termos:
Podemos escrever de forma mais compacta: