Questão 2 [13 pontos]: Calcule a transformada de Fourier da função
g(x)=\left(1-x^{2}\right) e^{-x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\left(1-x^{2}\right)e^{-x^{2}}
e pede: "Calcule a transformada de Fourier de g". As informações relevantes que temos são:
\text{função: }g(x)=(1-x^{2})e^{-x^{2}}çã
\text{objetivo: } \mathcal{F}\{g\}(k)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)e^{-ikx}\,dx
Não há figura nem tabela. A questão é única: encontrar a transformada de Fourier de g.

Passo 2

Vou usar a convenção de transformada de Fourier
\mathcal{F}\{f\}(k)=\widehat{f}(k)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ikx}\,dx,
onde k é a variável de frequência (real).\n
Estratégia: escrever g(x) como combinação de termos mais simples cuja transformada a gente conhece ou consegue achar facilmente. Observe que
g(x)=e^{-x^{2}}-x^{2}e^{-x^{2}}.
Se soubermos \mathcal{F}\{e^{-x^{2}}\} e soubermos como a multiplicação por x^{2} no domínio do tempo se reflete no domínio da frequência, podemos montar \widehat{g}(k). Vou então:
  1. calcular \widehat{f_{0}}(k) para f_{0}(x)=e^{-x^{2}} (transformada da gaussiana), e
  2. usar a propriedade que relaciona multiplicação por x (ou x^{2}) com derivadas em k.

Passo 3

Cálculo da transformada da gaussiana f_{0}(x)=e^{-x^{2}}.
Começamos com a integral
\widehat{f_{0}}(k)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}e^{-ikx}\,dx=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}-ikx}\,dx.
Fazemos completar o quadrado no expoente:
-x^{2}-ikx = -\left(x^{2}+ikx\right) = -\left(x+\frac{ik}{2}\right)^{2} - \frac{k^{2}}{4}.
Portanto
e^{-x^{2}-ikx}=e^{-\left(x+\frac{ik}{2}\right)^{2}}e^{-k^{2}/4}.
Ao integrar em x sobre toda a reta, a mudança de variável u=x+\frac{ik}{2} desloca a reta no plano complexo, mas para a gaussiana essa translação não altera o valor da integral (pode-se justificar por contorno ou pelo fato conhecido \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^{2}}du=\sqrt{\pi}). Assim
\widehat{f_{0}}(k)=e^{-k^{2}/4}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^{2}}\,du = e^{-k^{2}/4}\sqrt{\pi}.
Logo
\widehat{f_{0}}(k)=\sqrt{\pi}\,e^{-k^{2}/4}.

Passo 4

Propriedade que liga multiplicação por x a derivadas em k.
Começo da prova simples (válida sob hipóteses usuais de decaimento, satisfeitas aqui): calcule a derivada de \widehat{f}(k)=\int f(x)e^{-ikx}dx em k:
\frac{d}{dk}\widehat{f}(k)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\frac{d}{dk}\bigl(e^{-ikx}\bigr)\,dx=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)(-ix)e^{-ikx}\,dx = -i\widehat{x f}(k).
Reorganizando:
\widehat{x f}(k)=i\frac{d}{dk}\widehat{f}(k).
Aplicando isso de novo para x^{2}f: derive duas vezes
\frac{d^{2}}{dk^{2}}\widehat{f}(k)=\frac{d}{dk}\left(-i\widehat{x f}(k)\right)=-i\left(-i\widehat{x^{2}f}(k)\right) = -\widehat{x^{2}f}(k).
Portanto
\widehat{x^{2}f}(k)=-\frac{d^{2}}{dk^{2}}\widehat{f}(k).
Essas duas fórmulas são o que precisamos.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: g(x)=f_{0}(x)-x^{2}f_{0}(x). Então, usando linearidade da transformada,
\widehat{g}(k)=\widehat{f_{0}}(k)-\widehat{x^{2}f_{0}}(k).
Pela propriedade do passo anterior,
\widehat{x^{2}f_{0}}(k)=-\frac{d^{2}}{dk^{2}}\widehat{f_{0}}(k).
Logo
\widehat{g}(k)=\widehat{f_{0}}(k) + \frac{d^{2}}{dk^{2}}\widehat{f_{0}}(k).
Recordando \widehat{f_{0}}(k)=\sqrt{\pi}\,e^{-k^{2}/4}, vamos derivar:
Primeira derivada:
\frac{d}{dk}\widehat{f_{0}}(k)=\frac{d}{dk}\left(\sqrt{\pi}\,e^{-k^{2}/4}\right) =\sqrt{\pi}\,e^{-k^{2}/4}\left(-\frac{k}{2}\right) = -\frac{k}{2}\sqrt{\pi}\,e^{-k^{2}/4}.
Segunda derivada:
\frac{d^{2}}{dk^{2}}\widehat{f_{0}}(k) =\frac{d}{dk}\left(-\frac{k}{2}\sqrt{\pi}\,e^{-k^{2}/4}\right).
Derivando produto (mostrando passo a passo):
\frac{d^{2}}{dk^{2}}\widehat{f_{0}}(k) = -\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\,e^{-k^{2}/4} \;+\; \left(-\frac{k}{2}\sqrt{\pi}\right)\left(-\frac{k}{2}\right)e^{-k^{2}/4}.
Simplificando:
\frac{d^{2}}{dk^{2}}\widehat{f_{0}}(k) =\sqrt{\pi}\,e^{-k^{2}/4}\left(-\frac{1}{2}+\frac{k^{2}}{4}\right) =\sqrt{\pi}\,e^{-k^{2}/4}\left(\frac{k^{2}}{4}-\frac{1}{2}\right).

Passo 6

Agora voltamos para \widehat{g}(k):
\widehat{g}(k)=\widehat{f_{0}}(k)+\frac{d^{2}}{dk^{2}}\widehat{f_{0}}(k) =\sqrt{\pi}\,e^{-k^{2}/4} + \sqrt{\pi}\,e^{-k^{2}/4}\left(\frac{k^{2}}{4}-\frac{1}{2}\right).
Juntando termos:
\widehat{g}(k)=\sqrt{\pi}\,e^{-k^{2}/4}\left(1+\frac{k^{2}}{4}-\frac{1}{2}\right) =\sqrt{\pi}\,e^{-k^{2}/4}\left(\frac{k^{2}}{4}+\frac{1}{2}\right).
Podemos escrever de forma mais compacta:
\widehat{g}(k)=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\,(k^{2}+2)\,e^{-k^{2}/4}.

Resposta

\displaystyle \widehat{g}(k)=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\,(k^{2}+2)\,e^{-k^{2}/4}

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