Questão 3 [14 pontos]: No seguinte problema de Dirichlet,
denota a temperatura de estado estacionário no semiplano inferior. Use a transformada de Fourier para encontrar a solução.
Encontre as isotermas.
Passo 1
O enunciado pede que encontremos a temperatura de estado estacionário
Ou seja: sabemos a equação de Laplace no domínio
. Precisamos (1) achar
usando transformada de Fourier em
e (2) obter as isotermas, isto é, as curvas
.]
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier em
da função
(para cada
) como
onde
é a variável de frequência. A ideia é transformar a equação em derivadas parciais numa equação ordinária em
para
. Aplicando a transformada em
em cada termo:
Logo, a equação de Laplace vira
uma equação diferencial ordinária em
para cada
.
Passo 3
Resolvemos a equação ODE
. A solução geral é
pois
dá exponenciais com
nas soluções. Agora usamos a condição física de que a temperatura deve permanecer limitada quando
(estamos no semiplano inferior
). Note que, como
,
e
. Portanto devemos ter
para solução limitada. Assim
A condição de contorno
com
implica, pela transformada em
,
Portanto
Passo 4
Precisamos calcular
, a transformada de Fourier de
. Existe uma fórmula padrão (que pode ser verificada invertendo transformadas) que diz que, para
,
Aplicando com
obtemos
(Se quiser, essa igualdade pode ser obtida a partir da transformada conhecida
ou verificando que a transformada inversa de
é
.)
Passo 5
Substituímos
em
:
Agora aplicamos a transformada inversa em
para recuperar
:
Assim
Passo 6
Usamos a identidade (vista antes) para inverter a integral: para
,
Aqui
(note que
porque
). Portanto
Substituindo em
obtemos
Verificação rápida: para
isto dá
, que coincide com a condição de contorno; e para
temos
, comportamento físico esperado.
Passo 7
Agora encontramos as isotermas. Seja
uma constante de nível; a isoterma correspondente é o conjunto de pontos
tal que
Multiplicando e rearranjando:
Definimos
(observe
pois
); então a equação fica
Completando o quadrado em
:
Voltando para a variável
(lembre
), a isoterma tem a forma de um círculo:
Ou seja: as isotermas são círculos centrados sobre o eixo
, com centro em
e raio
. Note que
varia no intervalo
(o máximo de
ocorre em
e é
).
Resposta
As isotermas
(com
) são dadas por