Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
\int_{0}^{1}(2 x+1)^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}(2x+1)^{4}\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, vamos buscar uma primitiva de (2x+1)^{4}, e a técnica mais direta aqui é a substituição de variáveis.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 2x + 1.
Diferenciando, obtemos
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0, temos u=2\cdot0+1=1.
Quando x=1, temos u=2\cdot1+1=3.

Passo 3

Substituindo na integral original, trocando x por u e ajustando os limites, vem
\int_{0}^{1}(2x+1)^{4}\,dx = \int_{u=1}^{u=3} u^{4}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{3}u^{4}\,du.

Passo 4

Agora usamos o fato de que uma primitiva de u^{4} é
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5}.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\frac{1}{2}\int_{1}^{3}u^{4}\,du = \frac{1}{2}\left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{1}^{3} = \frac{1}{10}\bigl[u^{5}\bigr]_{1}^{3}.

Passo 5

Basta agora avaliar nos limites u=1 e u=3:
\frac{1}{10}\bigl[3^{5}-1^{5}\bigr] = \frac{1}{10}\bigl[243 - 1\bigr] = \frac{242}{10} = \frac{121}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{121}{5}

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