Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
\int_{\ln 2}^{3} 5 e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
\int_{\ln 2}^{3} 5e^{x}\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. O conteúdo principal é encontrar uma antiderivada de 5e^{x} e, em seguida, avaliar nos limites x=\ln 2 e x=3.

Passo 2

Para achar a antiderivada de 5e^{x}, usamos a regra do fator constante e o fato de que a derivada de e^{x} é ela mesma. Logo, uma primitiva F(x) satisfaz
F(x)=\int 5e^{x}\,dx=5\int e^{x}\,dx=5e^{x}+C.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
\int_{\ln 2}^{3}5e^{x}\,dx=F(3)-F(\ln 2)
onde F(x)=5e^{x}. Então
F(3)-F(\ln 2)=5e^{3}-5e^{\ln 2}.

Passo 4

Basta usar e^{\ln 2}=2 para simplificar:
5e^{3}-5e^{\ln 2}=5e^{3}-5\cdot2=5e^{3}-10.

Resposta

5e^{3}-10

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