Calcule a integral, utilizando a definição de limite das Somas de Riemann, sendo os pontos amostrais os extremos direitos de cada subintervalo, para:
\int_{0}^{6}\left(x^{2}-4\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{6}\bigl(x^{2}-4\bigr)\,dx
usando a definição de soma de Riemann com pontos amostrais nos extremos direitos. O conteúdo envolve:
• Particionar o intervalo [0,6] em n subintervalos iguais de largura \Delta x.
• Escolher x_i como extremo direito de cada subintervalo.
• Montar a soma de Riemann
\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x
• Usar as fórmulas para \sum_{i=1}^{n}i e \sum_{i=1}^{n}i^2.
• Fazer o limite quando n\to\infty.

Passo 2

Particionando [0,6] em n partes iguais, temos
\Delta x = \frac{6-0}{n} = \frac{6}{n},
e os pontos direitos
\;x_i = 0 + i\,\Delta x = \frac{6i}{n},\quad i=1,2,\dots,n.
A soma de Riemann é
\sum_{i=1}^{n} \bigl(x_i^{2}-4\bigr)\,\Delta x.

Passo 3

Separemos a soma em duas partes:
\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i^{2}-4\bigr)\,\Delta x = \Delta x\sum_{i=1}^{n}x_i^{2} \;-\; \Delta x\sum_{i=1}^{n}4.
Como \sum_{i=1}^{n}4 =4n, fica
\Delta x\sum_{i=1}^{n}x_i^{2} -4n\,\Delta x.

Passo 4

Substituindo x_i = \tfrac{6i}{n} e \Delta x=\tfrac{6}{n}:
\Delta x\sum_{i=1}^{n}x_i^{2} = \frac{6}{n}\sum_{i=1}^{n}\Bigl(\frac{6i}{n}\Bigr)^{2} = \frac{6}{n}\,\frac{36}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{216}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Logo
\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x = \frac{216}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \;-\;4n\cdot\frac{6}{n}.

Passo 5

Simplificando cada termo:
\frac{216}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{36}{n^{2}}\,(n+1)(2n+1),
4n\cdot\frac{6}{n}=24.
Então a soma é
\frac{36}{n^{2}}\,(2n^{2}+3n+1)-24 =\frac{72n^{2}+108n+36}{n^{2}}-24 =72+ \frac{108}{n}+\frac{36}{n^{2}}-24 =48+ \frac{108}{n}+\frac{36}{n^{2}}.
Agora fazemos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\Bigl(48+ \frac{108}{n}+\frac{36}{n^{2}}\Bigr) =48.

Resposta

\int_{0}^{6}\bigl(x^{2}-4\bigr)\,dx = 48.

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