Calcule a integral, utilizando a definição de limite das Somas de Riemann, sendo os pontos amostrais os extremos direitos de cada subintervalo, para:
\int_{-1}^{8} 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{8} 5x \, dx
usando a definição de limite de Sommas de Riemann com pontos amostrais sendo os extremos direitos de cada subintervalo. Vamos precisar: (1) particionar o intervalo em n subintervalos de largura \Delta x, (2) tomar os pontos amostrais x_i como o extremo direito de cada subintervalo, (3) montar a soma de Riemann R_n e (4) passar ao limite n\to\infty.

Passo 2

Particionamos [-1,8] em n subintervalos de mesmo comprimento
\Delta x = \frac{8 - (-1)}{n} = \frac{9}{n}.
Como usamos extremos direitos, o i-ésimo ponto amostral é
x_i = -1 + i\,\Delta x = -1 + \frac{9i}{n},
para i=1,2,\dots,n.

Passo 3

A soma de Riemann aproximada é
R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} 5\,x_i\;\frac{9}{n} = \frac{45}{n}\sum_{i=1}^{n}\Bigl(-1 + \frac{9i}{n}\Bigr).

Passo 4

Separando a soma em duas partes e usando \sum_{i=1}^n i = \tfrac{n(n+1)}{2}, temos
R_n = \frac{45}{n}\Bigl[\sum_{i=1}^n(-1) \;+\;\sum_{i=1}^n\frac{9i}{n}\Bigr] = \frac{45}{n}\Bigl[-n + \frac{9}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}\Bigr] = 45\Bigl[-1 + \frac{9(n+1)}{2n}\Bigr].

Passo 5

Para obter a integral, tomamos o limite n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}R_n = 45\Bigl[-1 + \frac{9}{2}\Bigr] = 45\cdot\frac{7}{2} = \frac{315}{2}.

Resposta

\frac{315}{2}

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