Calcule a integral, utilizando a definição de limite das Somas de Riemann, sendo os pontos amostrais os extremos direitos de cada subintervalo, para:
\int_{1}^{5}\left(3 x^{2}+7 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{1}^{5}\bigl(3x^{2}+7x\bigr)\,dx
usando a definição de soma de Riemann com pontos amostrais sendo os extremos direitos de cada subintervalo. Vamos precisar de:
– particionar o intervalo em n subintervalos,
– escrever a soma de Riemann S_{n},
– usar as fórmulas para \sum_{i=1}^{n}i e \sum_{i=1}^{n}i^{2},
– tomar o limite de S_{n} quando n\to\infty.

Passo 2

Dividimos [1,5] em n subintervalos de mesma largura \displaystyle \Delta x = \frac{5-1}{n} = \frac{4}{n}.
O i-ésimo extremo direito é \displaystyle x_{i} = 1 + i\,\frac{4}{n}.

Passo 3

A soma de Riemann com pontos direitos é
S_{n} \;=\;\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\,\Delta x \quad\text{com}\quad f(x)=3x^{2}+7x.

Passo 4

Em cada x_{i} temos
x_{i} = 1 + \frac{4i}{n}, \quad x_{i}^{2} = 1 + \frac{8i}{n} + \frac{16i^{2}}{n^{2}},
então
f(x_{i}) =3\Bigl(1+\frac{8i}{n}+\frac{16i^{2}}{n^{2}}\Bigr) +7\Bigl(1+\frac{4i}{n}\Bigr) =10 + \frac{52\,i}{n} + \frac{48\,i^{2}}{n^{2}}.
Logo
S_{n} =\sum_{i=1}^{n}\Bigl(10 + \frac{52\,i}{n} + \frac{48\,i^{2}}{n^{2}}\Bigr)\,\frac{4}{n}.

Passo 5

Usamos \displaystyle \sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2} e \displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Então dentro da soma:
\sum_{i=1}^{n}10 = 10n, \quad \sum_{i=1}^{n}\frac{52\,i}{n} = \frac{52}{n}\,\frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{i=1}^{n}\frac{48\,i^{2}}{n^{2}} = \frac{48}{n^{2}}\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Passo 6

Calculando cada termo:
10n = 10n, \quad \frac{52}{n}\,\frac{n(n+1)}{2} = 26\,(n+1), \quad \frac{48}{n^{2}}\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =8\,\frac{(n+1)(2n+1)}{n}.
Somando e multiplicando por \tfrac{4}{n} vem
S_{n} =\frac{4}{n}\Bigl[10n + 26(n+1) + 8\frac{(n+1)(2n+1)}{n}\Bigr] =208 + \frac{200}{n} + \frac{32}{n^{2}}.

Passo 7

Fazendo n\to\infty, os termos \tfrac{200}{n} e \tfrac{32}{n^{2}} vão a zero. Logo
\lim_{n\to\infty}S_{n} = 208.
Isso coincide com o resultado pelo cálculo direto de antiderivada.

Resposta

O valor da integral é 208.

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