Calcule a integral, utilizando a definição de limite das Somas de Riemann, sendo os pontos amostrais os extremos direitos de cada subintervalo, para:
\int_{0}^{4}\left(x^{2}+x-6\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{4}\bigl(x^{2}+x-6\bigr)\,dx
usando a definição de integral como limite de somas de Riemann com pontos amostrais sendo os extremos direitos de cada subintervalo. Para isso, vamos precisar de:
  1. particionar o intervalo em n subintervalos iguais,
  2. usar a fórmula da soma de Riemann S_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x,
  3. as fórmulas \sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}2 e \sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,
  4. tomar o limite de S_n quando n\to\infty.

Passo 2

Dividimos [0,4] em n subintervalos de comprimento
\Delta x=\frac{4-0}{n}=\frac{4}{n}.
Como usamos o extremo direito de cada subintervalo, o ponto amostral do i-ésimo subintervalo é
x_i=0+i\,\Delta x=\frac{4i}{n},\quad i=1,2,\dots,n.

Passo 3

Escrevemos a soma de Riemann
S_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x =\sum_{i=1}^{n}\Bigl(\bigl(\tfrac{4i}{n}\bigr)^{2}+\tfrac{4i}{n}-6\Bigr)\,\frac{4}{n}.
Distributindo,
S_n=\frac{4}{n}\sum_{i=1}^{n}\Bigl(\frac{16\,i^{2}}{n^{2}}+\frac{4\,i}{n}-6\Bigr) =\frac{4}{n}\Bigl(\frac{16}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}i^{2}+\frac{4}{n}\sum_{i=1}^{n}i-6\sum_{i=1}^{n}1\Bigr).

Passo 4

Aplicando as fórmulas conhecidas:
\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,\qquad \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}2,\qquad \sum_{i=1}^{n}1=n,
temos
S_n =\frac{4}{n}\Bigl(\frac{16}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}6 +\frac{4}{n}\cdot\frac{n(n+1)}2 -6n\Bigr).
Simplificando cada termo e reunindo em função de n, chega-se a
S_n =4\Bigl(\frac{16}{6}\frac{(2n^{3}+3n^{2}+n)}{n^{3}} +\frac{2(n^{2}+n)}{n^{2}} -6\Bigr).

Passo 5

Ao expandir e depois tomar o limite n\to\infty, os termos de ordem inferior desaparecem, restando
\lim_{n\to\infty}S_n =4\Bigl(\frac{16}{6}\cdot2+2-6\Bigr) =4\Bigl(\frac{32}{6}+2-6\Bigr) =4\Bigl(\frac{16}{3}-4\Bigr) =4\cdot\frac{4}{3} =\frac{16}{3}.

Resposta

\frac{16}{3}

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