Calcule a integral, utilizando a definição de limite das Somas de Riemann, sendo os pontos amostrais os extremos direitos de cada subintervalo, para:
\int_{-2}^{2}\left(x^{3}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-2}^{2}\bigl(x^{3}+1\bigr)\,dx
usando a definição pelo limite das Som­as de Riemann com pontos amostrais à direita de cada subintervalo. O conteúdo envolve:
  • montar a partição de [-2,2] em n subintervalos iguais,
  • usar x_i^* = extremo direito de cada intervalo,
  • escrever a soma de Riemann S_n,
  • calcular \lim_{n\to\infty}S_n.

Passo 2

Particionamos [-2,2] em n subintervalos de comprimento
\Delta x = \frac{2-(-2)}{n}=\frac{4}{n}.
O extremo direito do i-ésimo subintervalo é
\;x_i^*=-2+i\,\Delta x = -2 + \frac{4i}{n},\quad i=1,2,\dots,n.

Passo 3

A soma de Riemann com pontos à direita é
S_n \;=\;\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\,\Delta x \;=\;\sum_{i=1}^{n}\Bigl[\bigl(x_i^*\bigr)^3+1\Bigr]\frac{4}{n}.

Passo 4

Calculamos \bigl(x_i^*\bigr)^3 e separamos a soma em quatro parcelas:
x_i^*=-2+\frac{4i}{n} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x_i^*\bigr)^3 =-8+48\frac{i}{n}-96\frac{i^2}{n^2}+64\frac{i^3}{n^3}.
Então
f(x_i^*)+1 =\bigl(x_i^*\bigr)^3+1 =-7+48\frac{i}{n}-96\frac{i^2}{n^2}+64\frac{i^3}{n^3},
e
S_n =\frac{4}{n}\sum_{i=1}^n\Bigl[-7+48\frac{i}{n}-96\frac{i^2}{n^2}+64\frac{i^3}{n^3}\Bigr].

Passo 5

Usamos as fórmulas de somatório:
\sum_{i=1}^n1=n,\quad \sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2},\quad \sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad \sum_{i=1}^n i^3=\Bigl[\frac{n(n+1)}{2}\Bigr]^2.
Substituindo em S_n e simplificando, obtemos uma expressão em função de n.

Passo 6

Ao calcular
\lim_{n\to\infty}S_n
verifica-se que todos os termos dependentes de 1/n e 1/n^2 tendem a zero, restando
\lim_{n\to\infty}S_n=4.

Resposta

4

Exercícios relacionados