Calcule a integral, utilizando a definição de limite das Somas de Riemann, sendo os pontos amostrais os extremos direitos de cada subintervalo, para:
\int_{0}^{10}\left(x^{2}-4 x+2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{10}\bigl(x^{2}-4x+2\bigr)\,dx
pela definição de soma de Riemann usando os extremos direitos. Para isso vamos:
  1. dividir o intervalo em n subintervalos de largura \Delta x,
  2. escolher o ponto amostral direito x_i em cada subintervalo,
  3. montar a soma \sum_{i=1}^n f(x_i)\,\Delta x,
  4. usar as fórmulas de \sum_{i=1}^n i e \sum_{i=1}^n i^2,
  5. tomar o limite n\to\infty.

Passo 2

Dividimos [0,10] em n subintervalos iguais de largura
\Delta x = \frac{10-0}{n} = \frac{10}{n}.
O ponto amostral direito do i-ésimo subintervalo é
x_i = 0 + i\,\Delta x = \frac{10\,i}{n}.
A soma de Riemann fica então
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \bigl((x_i)^2 - 4x_i + 2\bigr)\,\frac{10}{n}.

Passo 3

Substituindo x_i=\tfrac{10i}{n} em cada termo:
(x_i)^2 = \frac{100\,i^2}{n^2},\quad 4x_i = \frac{40\,i}{n},
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f(x_i)\,\Delta x = \Bigl(\frac{100i^2}{n^2} - \frac{40i}{n} + 2\Bigr)\frac{10}{n} = \frac{1000\,i^2}{n^3} - \frac{400\,i}{n^2} + \frac{20}{n}.
Assim
S_n = \sum_{i=1}^n \Bigl(\frac{1000\,i^2}{n^3} - \frac{400\,i}{n^2} + \frac{20}{n}\Bigr) = \frac{1000}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2 - \frac{400}{n^2}\sum_{i=1}^n i + \frac{20}{n}\sum_{i=1}^n 1.

Passo 4

Usamos as fórmulas conhecidas:
\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2},\quad \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad \sum_{i=1}^n 1 = n.
Portanto
S_n = \frac{1000}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{400}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} + \frac{20}{n}\cdot n.

Passo 5

Agora simplificamos e tomamos o limite n\to\infty. Cada termo tende a
\frac{1000}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\;\longrightarrow\;\frac{1000}{6}\cdot2=\frac{1000}{3},
\frac{400}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}\;\longrightarrow\;200,
\frac{20}{n}\cdot n = 20.
Como o segundo termo vem com sinal negativo em S_n, obtemos
\lim_{n\to\infty}S_n = \frac{1000}{3} - 200 + 20 = \frac{1000 - 540}{3} = \frac{460}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{460}{3}

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