Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.
int\left[3 \operatorname{sen} x-2 \operatorname{sec} ^{2} x\right] d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a integral \displaystyle \int\left[3 \operatorname{sen} x-2 \operatorname{sec}^{2} x\right] dx.
  • Verificar a resposta por diferenciação.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é 3\operatorname{sen}x-2\operatorname{sec}^{2}x.
  • Deve-se apresentar uma primitiva (antiderivada) e depois confirmar que sua derivada volta à função original.

Passo 2

Regra que vamos usar (linearidade da integral): para quaisquer constantes a,b e funções f,g,
\int\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Aplicando isso à nossa integral, podemos separar os termos.

Passo 3

Separe a integral usando a linearidade:
\int\left[3\sin x-2\operatorname{sec}^{2}x\right]dx = 3\int\sin x\,dx - 2\int\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
(Usei \sin para escrever a função seno em LaTeX; \operatorname{sen}x no enunciado é o mesmo que \sin x.)

Passo 4

Antiderivada do primeiro termo. Lembrete básico: a derivada de \cos x é \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x. Isso implica que uma primitiva de \sin x é -\cos x. Portanto,
\int\sin x\,dx = -\cos x + C_1.
No contexto da soma de integrais, não precisamos somar constantes parciais agora — colocamos a constante apenas ao final.

Passo 5

Antiderivada do segundo termo. Lembrete básico: a derivada de \tan x é \dfrac{d}{dx}\tan x = \operatorname{sec}^{2}x. Isso implica que uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}x é \tan x. Portanto,
\int\operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x + C_2.

Passo 6

Combine os resultados e coloque a constante geral C:
\int\left[3\sin x-2\operatorname{sec}^{2}x\right]dx = 3(-\cos x)-2(\tan x)+C = -3\cos x - 2\tan x + C.

Passo 7

Verificação por diferenciação: calcule a derivada de F(x) = -3\cos x - 2\tan x + C.
  • Derivada de -3\cos x: \dfrac{d}{dx}(-3\cos x) = -3\cdot(-\sin x) = 3\sin x.
  • Derivada de -2\tan x: \dfrac{d}{dx}(-2\tan x) = -2\cdot\operatorname{sec}^{2}x.
  • Derivada de C é 0.
Somando:
F'(x)=3\sin x - 2\operatorname{sec}^{2}x,
que é exatamente o integrando dado. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-3\cos x - 2\tan x + C

Exercícios relacionados