Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a integral
. - Verificar a resposta por diferenciação.
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - Deve-se apresentar uma primitiva (antiderivada) e depois confirmar que sua derivada volta à função original.
Passo 2
Regra que vamos usar (linearidade da integral): para quaisquer constantes
e funções
,
Aplicando isso à nossa integral, podemos separar os termos.
Passo 3
Separe a integral usando a linearidade:
(Usei
para escrever a função seno em LaTeX;
no enunciado é o mesmo que
.)
Passo 4
Antiderivada do primeiro termo. Lembrete básico: a derivada de
é
. Isso implica que uma primitiva de
é
. Portanto,
No contexto da soma de integrais, não precisamos somar constantes parciais agora — colocamos a constante apenas ao final.
Passo 5
Antiderivada do segundo termo. Lembrete básico: a derivada de
é
. Isso implica que uma primitiva de
é
. Portanto,
Passo 6
Combine os resultados e coloque a constante geral
:
Passo 7
Verificação por diferenciação: calcule a derivada de
.
- Derivada de
: - Derivada de
: - Derivada de
é .
Somando:
que é exatamente o integrando dado. Portanto a primitiva está correta.