Calcule a integral de volume para: \rho v=4 x y z: 0 \leq \rho \leq 2,0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq z \leq 3
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral de volume (massa total) para uma densidade dada e uma região especificada. Informações que o enunciado dá:
A densidade (vou chamar de densidade volumétrica) é \rho_v = 4 x y z.
A região está descrita em coordenadas cilíndricas pelos limites:
0 \leq \rho \leq 2,
0 \leq \varphi \leq \dfrac{\pi}{2},
0 \leq z \leq 3.
O que é pedido: calcular a integral de volume\iiint_{V} \rho_v\, dVsobre a região V definida pelos limites acima.
Passo 2
Entender a relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas e o elemento de volume. Em coordenadas cilíndricas usa-se:
x = \rho \cos\varphi,\qquad y = \rho \sin\varphi,\qquad z = z,
onde \rho é a distância radial ao eixo z e \varphi é o ângulo no plano xy. O elemento de volume em cilíndricas é
dV = \rho\, d\rho\, d\varphi\, dz.
Explicação curta do \rho extra: ao passar de retângulos dx\,dy para coordenadas polares o elemento de área vira \rho\,d\rho\,d\varphi; para volume, multiplica-se por dz.
Passo 3
Substituir x e y na densidade e multiplicar pelo elemento de volume. A densidade em cilíndricas fica
\rho_v = 4 x y z = 4(\rho\cos\varphi)(\rho\sin\varphi)z = 4\rho^2\cos\varphi\sin\varphi\, z.
Multiplicando por dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz obtemos o integrando total:
\rho_v\,dV = 4\rho^2\cos\varphi\sin\varphi\, z \cdot \rho\,d\rho\,d\varphi\,dz = 4\rho^3\cos\varphi\sin\varphi\, z\, d\rho\,d\varphi\,dz.
Passo 4
Montar a integral tripla com os limites fornecidos (ordem z, \rho, \varphi é conveniente porque o integrando separa em fatores que permitem integrações simples):
\iiint_{V} \rho_v\,dV = \int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{2}\int_{z=0}^{3} 4\rho^3\cos\varphi\sin\varphi\, z \; dz\, d\rho\, d\varphi.
Passo 5
Integrar em z primeiro, porque o integrando é linear em z e os outros fatores não dependem de z. Calculando:
Calcular a integral em \varphi. Note que \cos\varphi\sin\varphi é metade de \sin(2\varphi) ou pode usar substituição u=\sin\varphi. Usando a identidade: