Calcule a integral de volume para:
\rho v=4 x y z: 0 \leq \rho \leq 2,0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq z \leq 3

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral de volume (massa total) para uma densidade dada e uma região especificada. Informações que o enunciado dá:
  • A densidade (vou chamar de densidade volumétrica) é \rho_v = 4 x y z.
  • A região está descrita em coordenadas cilíndricas pelos limites:
    • 0 \leq \rho \leq 2,
    • 0 \leq \varphi \leq \dfrac{\pi}{2},
    • 0 \leq z \leq 3.
  • O que é pedido: calcular a integral de volume \iiint_{V} \rho_v\, dVsobre a região V definida pelos limites acima.

Passo 2

Entender a relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas e o elemento de volume. Em coordenadas cilíndricas usa-se:
x = \rho \cos\varphi,\qquad y = \rho \sin\varphi,\qquad z = z,
onde \rho é a distância radial ao eixo z e \varphi é o ângulo no plano xy. O elemento de volume em cilíndricas é
dV = \rho\, d\rho\, d\varphi\, dz.
Explicação curta do \rho extra: ao passar de retângulos dx\,dy para coordenadas polares o elemento de área vira \rho\,d\rho\,d\varphi; para volume, multiplica-se por dz.

Passo 3

Substituir x e y na densidade e multiplicar pelo elemento de volume. A densidade em cilíndricas fica
\rho_v = 4 x y z = 4(\rho\cos\varphi)(\rho\sin\varphi)z = 4\rho^2\cos\varphi\sin\varphi\, z.
Multiplicando por dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz obtemos o integrando total:
\rho_v\,dV = 4\rho^2\cos\varphi\sin\varphi\, z \cdot \rho\,d\rho\,d\varphi\,dz = 4\rho^3\cos\varphi\sin\varphi\, z\, d\rho\,d\varphi\,dz.

Passo 4

Montar a integral tripla com os limites fornecidos (ordem z, \rho, \varphi é conveniente porque o integrando separa em fatores que permitem integrações simples):
\iiint_{V} \rho_v\,dV = \int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{2}\int_{z=0}^{3} 4\rho^3\cos\varphi\sin\varphi\, z \; dz\, d\rho\, d\varphi.

Passo 5

Integrar em z primeiro, porque o integrando é linear em z e os outros fatores não dependem de z. Calculando:
\int_{0}^{3} z\, dz = \left.\tfrac{1}{2}z^2\right|_{0}^{3} = \tfrac{1}{2}\cdot 9 = \tfrac{9}{2}.
Assim a integral fica
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} 4\rho^3\cos\varphi\sin\varphi \cdot \tfrac{9}{2}\; d\rho\, d\varphi = 18 \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} \rho^3\cos\varphi\sin\varphi\; d\rho\, d\varphi.

Passo 6

Separar as integrais em \rho e \varphi porque o integrando fatoriza:
18 \left(\int_{0}^{2} \rho^3\, d\rho\right)\left(\int_{0}^{\pi/2} \cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi\right).
Calcular a integral em \rho:
\int_{0}^{2} \rho^3\, d\rho = \left.\tfrac{1}{4}\rho^4\right|_{0}^{2} = \tfrac{1}{4}\cdot 16 = 4.

Passo 7

Calcular a integral em \varphi. Note que \cos\varphi\sin\varphi é metade de \sin(2\varphi) ou pode usar substituição u=\sin\varphi. Usando a identidade:
\cos\varphi\sin\varphi = \tfrac{1}{2}\sin(2\varphi),
então
\int_{0}^{\pi/2} \cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \sin(2\varphi)\, d\varphi = \tfrac{1}{2}\left[-\tfrac{1}{2}\cos(2\varphi)\right]_{0}^{\pi/2} = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\big(\cos 0 - \cos \pi\big).
Calculando os cossenos:
\cos 0 = 1,\qquad \cos \pi = -1,
portanto
\int_{0}^{\pi/2} \cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi = \tfrac{1}{4}(1 - (-1)) = \tfrac{1}{4}\cdot 2 = \tfrac{1}{2}.
(Alternativamente, com u=\sin\varphi obtém-se o mesmo resultado.)

Passo 8

Juntar os resultados:
18 \times \left(\int_{0}^{2}\rho^3 d\rho\right)\times\left(\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi d\varphi\right) = 18 \times 4 \times \tfrac{1}{2}.
Calcule:
18 \times 4 = 72,\qquad 72 \times \tfrac{1}{2} = 36.
Portanto a integral de volume (massa total) sobre a região dada é \,36.

Resposta

36

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