Calcule
integral x d xx^3+9 x^2+23 x+15.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse tipo de problema pertence ao estudo de integração de funções racionais, onde usamos a técnica de frações parciais. Para resolver, precisamos fatorar o denominador e decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o polinômio do denominador (-1)^3 + 9(-1)^2 + 23(-1) + 15 = -1 + 9 - 23 + 15 = 0 . Para isso, buscamos as raízes do polinômio. Tentamos valores inteiros que sejam divisores do termo constante 15, como x^3+9x^2+23x+15 = (x + 1)(x^2+8x+15) , x^2+8x+15 = (x + 3)(x + 5) , etc.
Testando x^3+9x^2+23x+15 = (x + 1)(x + 3)(x + 5) :
Então, é um fator. Dividindo por , obtemos:
Agora, fatoramos :
Portanto, o denominador fatorado é:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração original como soma de frações parciais:
x(x + 1)(x + 3)(x + 5) = Ax + 1 + Bx + 3 + Cx + 5
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x = A(x + 3)(x + 5) + B(x + 1)(x + 5) + C(x + 1)(x + 3) para eliminar os denominadores:
x = A(x^2 + 8x + 15) + B(x^2 + 6x + 5) + C(x^2 + 4x + 3)
Expanda os termos:
x = (A + B + C)x^2 + (8A + 6B + 4C)x + (15A + 5B + 3C)
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B + C = 0 8A + 6B + 4C = 1 15A + 5B + 3C = 0
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:
A = 12, B = -1, C = 12

Passo 6

Substituímos os valores de x(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 12x + 1 - 1x + 3 + 12x + 5 , e na expressão das frações parciais:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral x , dx(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 12 integral dxx + 1 - integral dxx + 3 + 12 integral dxx + 5
As integrais são:
12 ln|x + 1| - ln|x + 3| + 12 ln|x + 5| + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral calculada é:
integral x , dxx^3+9 x^2+23 x+15 = 12 ln|x + 1| - ln|x + 3| + 12 ln|x + 5| + C

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