Vamos resolver a integral . Esse tipo de problema pertence ao estudo de integração de funções racionais, onde usamos a técnica de frações parciais. Para resolver, precisamos fatorar o denominador e decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o polinômio do denominador . Para isso, buscamos as raízes do polinômio. Tentamos valores inteiros que sejam divisores do termo constante 15, como , , etc.
Testando :
Então, é um fator. Dividindo por , obtemos:
Agora, fatoramos :
Portanto, o denominador fatorado é:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração original como soma de frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expanda os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:
A = 12, B = -1, C = 12
Passo 6
Substituímos os valores de x(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 12x + 1 - 1x + 3 + 12x + 5 , e na expressão das frações parciais:
Passo 7
Agora, integramos cada termo separadamente:
integral x , dx(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 12 integral dxx + 1 - integral dxx + 3 + 12 integral dxx + 5
As integrais são:
12 ln|x + 1| - ln|x + 3| + 12 ln|x + 5| + C
onde é a constante de integração.
Resposta
A integral calculada é:
integral x , dxx^3+9 x^2+23 x+15 = 12 ln|x + 1| - ln|x + 3| + 12 ln|x + 5| + C