Escreva os primeiros quatro termos não nulos e a fórmula para o coeficiente de x^n.
(a) sin (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de sin(2x), solicitando os quatro primeiros termos não nulos e a fórmula para o coeficiente de x^n. Vamos usar a série de Maclaurin de funções trigonométricas e a definição de coeficiente geral.

Passo 2

A série de Maclaurin para sin z é dada por:
sin z = sumk=0^infty (-1)^k z^2k+1(2k+1)!
Essa fórmula vem do desenvolvimento de Taylor centrado em zero para sin z.

Passo 3

Substituindo z = 2x na série acima, temos:
sin(2x) = sumk=0^infty (-1)^k (2x)^2k+1(2k+1)! = sumk=0^infty (-1)^k 2^2k+1(2k+1)! x^2k+1
Isso nos dá o termo geral antes de extrair os primeiros termos.

Passo 4

Para obter os quatro primeiros termos não nulos, calculamos para k=0,1,2,3:
Para k=0: (-1)^0 2^11!x^1 = 2x
Para k=1: (-1)^1 2^33!x^3 = -86x^3 = -43x^3
Para k=2: (-1)^2 2^55!x^5 = 32120x^5 = 415x^5
Para k=3: (-1)^3 2^77!x^7 = -1285040x^7 = -16315x^7

Passo 5

Reunindo esses quatro termos, a expansão fica:
2x - 43x^3 + 415x^5 - 16315x^7 + dots
Da expressão geral sumk=0^infty (-1)^k 2^2k+1(2k+1)! x^2k+1, concluímos que o coeficiente de x^n é:
an = 0, & se n é par, (-1)^n-122^nn!, & se n é ímpar ééí

Resposta

Os primeiros quatro termos não nulos são
2x - 43x^3 + 415x^5 - 16315x^7
e o coeficiente de x^n é
an = 0, & se n é par, (-1)^n-122^nn!, & se n é ímpar ééí

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