Escreva os primeiros quatro termos não nulos e a fórmula para o coeficiente de
.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de
, solicitando os quatro primeiros termos não nulos e a fórmula para o coeficiente de
. Vamos usar a série de Maclaurin de funções trigonométricas e a definição de coeficiente geral.
Passo 2
A série de Maclaurin para
é dada por:
Essa fórmula vem do desenvolvimento de Taylor centrado em zero para
.
Passo 3
Substituindo
na série acima, temos:
Isso nos dá o termo geral antes de extrair os primeiros termos.
Passo 4
Para obter os quatro primeiros termos não nulos, calculamos para
:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para
Para
Para
Para
Passo 5
Reunindo esses quatro termos, a expansão fica:
Da expressão geral
, concluímos que o coeficiente de
é:
Resposta
Os primeiros quatro termos não nulos são
e o coeficiente de
é