O centróide ( xc, yc ) de uma região da forma R=(x, y) in R^2 ; a <= x <= b, f(x) <= y <= g(x), onde f e g são funções contínuas e f(x) <= g(x) em [a, b], é dado por
xc=1A integrala^b x[g(x)-f(x)] d x e yc=12 A integrala^b[g(x)-f(x)][g(x)+f(x)] d x,
sendo A a área da região R. Com base nessas informações, encontre o centro de massa (centróide ou centro de gravidade) das seguintes regiões planas:
(b) Área delimitada pela parábola y^2=a x e pela reta x=a, com a>0. Resposta: (3 a5, 0).

Passo 1

O enunciado pede o centróide da região plana limitada pela parábola y^2 = a x e pela reta x = a. O conteúdo envolvido é cálculo de centroide de uma região descrita por a <= x <= b e f(x) <= y <= g(x), usando as fórmulas dadas para xc e yc.

Passo 2

Primeiro identificamos as funções limite em y. Da parábola y^2 = a x tiramos Logo, y = raiza x e y = -raiza x e g(x)=raiza x, com f(x)=-raiza x variando de 0 até x. A área a é dada por
A

Passo 3

Agora calculamos essa integral. Note que raiza x=raiza,x^1/2, então
A = 2raizaintegral0^ax^1/2,dx = 2raiza[23x^3/2]0^a = 2raizacdot23a^3/2 = 43a^2

Passo 4

Para xc usamos
xc = 1Aintegral0^axl(g(x)-f(x)r)dx = 2Aintegral0^axraiza x,dx

Passo 5

Reescrevendo xraiza x=raiza,x^3/2,
xc = 2raizaAintegral0^ax^3/2,dx = 2raizaA[25x^5/2]0^a = 4raiza5Aa^5/2 = 4a^35A

Passo 6

Substituindo A=tfrac43a^2 obtemos
xc = 4a^35cdot(tfrac43a^2) = 4a^3tfrac203a^2 = 3a5

Passo 7

Para yc temos
yc = 12Aintegral0^al(g(x)-f(x)r)l(g(x)+f(x)r)dx

Passo 8

Mas g(x)+f(x)=raiza x-raiza x=0, logo o integrando é zero e
yc = 0

Resposta

\left(\frac{3a}{5},,0\right)

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