Calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de $ x \sqrt{x + 1} $ de
até
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar entender como simplificar a integral para encontrar a antiderivada e depois avaliar nos limites dados.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a resolução. Temos:
A ideia aqui é fazer uma substituição que torne a integral mais simples de resolver.
Passo 3
Vamos usar a substituição $ u = x + 1 $. Isso significa que:
Além disso, quando $ x = -1 $, $ u = 0 $, e quando $ x = 0 $, $ u = 1 $. Agora, precisamos também expressar $ x $ em termos de $ u $:
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, temos:
Agora, vamos distribuir $ \sqrt{u} $:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de $ u^{n} $ é:
Aplicando isso aos termos:
Passo 6
Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, vamos avaliar nos limites de integração.
Passo 7
Primeiro, para $ u = 1 $:
Segundo, para $ u = 0 $:
Passo 8
Agora, subtraímos os valores:
Para subtrair essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.