Calcule a integral:
integral-1^0 x raizx+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de $ x \sqrt{x + 1} $ de x raizx + 1 até -1. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar entender como simplificar a integral para encontrar a antiderivada e depois avaliar nos limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a resolução. Temos:
integral-1^0 x raizx + 1 , dx
A ideia aqui é fazer uma substituição que torne a integral mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos usar a substituição $ u = x + 1 $. Isso significa que:
u = x + 1
Além disso, quando $ x = -1 $, $ u = 0 $, e quando $ x = 0 $, $ u = 1 $. Agora, precisamos também expressar $ x $ em termos de $ u $:
du = dx

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
integralu=0^u=1 (u - 1) raizu , du
Agora, vamos distribuir $ \sqrt{u} $:
raizu

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de $ u^{n} $ é:
u^n
Aplicando isso aos termos:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
integral u^3/2 , du = u^5/25/2 = 25 u^5/2

Passo 6

Substituindo de volta na integral, temos:
[ 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ]0^1
Agora, vamos avaliar nos limites de integração.

Passo 7

Primeiro, para $ u = 1 $:
u = 1
Segundo, para $ u = 0 $:
25 (1)^5/2 - 23 (1)^3/2 = 25 - 23

Passo 8

Agora, subtraímos os valores:
( 25 - 23 ) - 0 = 25 - 23
Para subtrair essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
615 - 1015 = 6 - 1015 = -415

Resposta

Portanto, o valor da integral é -415.

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