Calcule a integral:
integral0^1 x^21+x^3 d x

Passo 1

A questão pede para calcular integral0^1 x^21+x^3,dx. O conteúdo aqui é a técnica de substituição em integrais, pois o denominador 1+x^3 tem derivada proporcional ao numerador x^2. Vamos usar isso para simplificar a integração.

Passo 2

Fazemos a substituição u = 1 + x^3. Então
du = 3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = du3

Passo 3

Quando x=0, u=1+0^3=1. Quando x=1, u=1+1^3=2. Assim, a integral vira
integral0^1 x^21+x^3,dx = integralu=1^u=2 1u cdot du3 = 13 integral1^2 1u,du

Passo 4

Agora basta integrar integral 1u,du = ln|u| de 1 a 2. Logo,
13 integral1^2 1u,du = 13 l[ln ur]1^2 = 13(ln 2 - ln 1)

Resposta

13ln 2

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