Calcule a integral
Passo 1
Hoje vamos calcular a integral
. Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor uma fração complexa em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Primeiro, precisamos fatorar o denominador para facilitar essa decomposição.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, buscamos as raízes do polinômio. Testando
:
Então,
é uma raiz. Podemos então fatorar
do polinômio:
Agora, fatoramos o trinomio quadrático:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora que temos a fatoração, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Explicando: ao multiplicar, simplificamos a equação para resolver os coeficientes
,
e
.
Passo 5
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para encontrar
, podemos escolher outro valor, por exemplo, :
Passo 6
Agora que temos os valores de
,
e
:
Podemos simplificar:
Passo 7
Agora, integramos cada termo separadamente:
As integrais são conhecidas:
Passo 8
Aplicando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
.