Calcule a integral integral x+5x^3+3 x^2-4 d x

Passo 1

Hoje vamos calcular a integral integral x+5x^3+3 x^2-4 , dx. Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor uma fração complexa em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Primeiro, precisamos fatorar o denominador para facilitar essa decomposição.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + 3x^2 - 4. Para isso, buscamos as raízes do polinômio. Testando x = 1:
1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0
Então, x = 1 é uma raiz. Podemos então fatorar x - 1 do polinômio:
x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x^2 + 4x + 4)
Agora, fatoramos o trinomio quadrático:
x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2
Portanto, o denominador fatorado fica:
x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x + 2)^2

Passo 3

Agora que temos a fatoração, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Ou seja:
x + 5(x - 1)(x + 2)^2 = Ax - 1 + Bx + 2 + C(x + 2)^2
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B e C.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x - 1)(x + 2)^2 para eliminar as frações:
x + 5 = A(x + 2)^2 + B(x - 1)(x + 2) + C(x - 1)
Explicando: ao multiplicar, simplificamos a equação para resolver os coeficientes A, B e C.

Passo 5

Agora, escolhemos valores de x que simplificam a equação:
  1. Para x = 1:
1 + 5 = A(1 + 2)^2 + B(0) + C(0) implies 6 = 9A implies A = 23
  1. Para x = -2:
-2 + 5 = A(0) + B(-3)(0) + C(-3) implies 3 = -3C implies C = -1
  1. Para encontrar B, podemos escolher outro valor, por exemplo, x = 0:
0 + 5 = 23(0 + 2)^2 + B(0 - 1)(0 + 2) + (-1)(0 - 1)
5 = 23(4) + B(-1)(2) + 1
5 = 83 - 2B + 1
5 = 113 - 2B implies 5 - 113 = -2B implies 43 = -2B implies B = -23

Passo 6

Agora que temos os valores de A, B e C:
x + 5(x - 1)(x + 2)^2 = 23x - 1 + -23x + 2 + -1(x + 2)^2
Podemos simplificar:
23cdot1x - 1 - 23cdot1x + 2 - 1(x + 2)^2

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral x + 5x^3 + 3x^2 - 4 , dx = 23 integral 1x - 1 , dx - 23 integral 1x + 2 , dx - integral 1(x + 2)^2 , dx
As integrais são conhecidas:
integral 1u , du = ln|u| + C
integral 1u^2 , du = -1u + C

Passo 8

Aplicando as integrais:
23 ln|x - 1| - 23 ln|x + 2| + 1x + 2 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a 23 ln|x - 1| - 23 ln|x + 2| + 1x + 2 + C.

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