Seja z=f(x, y) diferenciável. Se x=r cos theta e y=r sin theta mostre que:
(partial zpartial x)^2+(partial zpartial y)^2=(partial zpartial r)^2+1r^2(partial zpartial x)^2

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma função $ z = f(x, y) $ que é diferenciável, onde as coordenadas $ x $ e $ y $ estão expressas em termos de coordenadas polares como $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Nosso objetivo é mostrar que:
z = f(x, y)
Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais e conhecimentos de coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $ em termos das derivadas parciais em relação a $ r $ e $ \theta $. Vamos aplicar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis.

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $ usando a regra da cadeia:
partial zpartial x
partial zpartial y

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de $ r $ e $ \theta $ em relação a $ x $ e $ y $:
Sabemos que:
r
theta
E,
x
y

Passo 5

Substituímos essas derivadas na expressão das derivadas parciais de $ z $:
z
partial zpartial x = partial zpartial r cdot cos theta + partial zpartial theta cdot (-sin thetar)

Passo 6

Agora, vamos calcular $ \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2} $:
Expandindo as expressões, temos:
(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2
Simplificando:
  • $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $
  • $ \frac{\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta}{r^{2}} = \frac{1}{r^{2}} $
  • Os termos cruzados se cancelam: $ \cos \theta \cdot (-\sin \theta) + \sin \theta \cdot \cos \theta = 0 $
Portanto:
(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 = (partial zpartial r)^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) + (partial zpartial theta)^2 (sin^2 thetar^2 + cos^2 thetar^2) + 2 partial zpartial r partial zpartial theta (cos theta cdot (-sin thetar) + sin theta cdot cos thetar)

Resposta

Demonstramos que:
(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 = (partial zpartial r)^2 + 1r^2 (partial zpartial theta)^2

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