Seja
diferenciável. Se
e
mostre que:
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos uma função $ z = f(x, y) $ que é diferenciável, onde as coordenadas $ x $ e $ y $ estão expressas em termos de coordenadas polares como $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Nosso objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais e conhecimentos de coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $ em termos das derivadas parciais em relação a $ r $ e $ \theta $. Vamos aplicar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $ usando a regra da cadeia:
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de $ r $ e $ \theta $ em relação a $ x $ e $ y $:
Sabemos que:
E,
Passo 5
Substituímos essas derivadas na expressão das derivadas parciais de $ z $:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2} $:
Expandindo as expressões, temos:
Simplificando:
- $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $
- $ \frac{\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta}{r^{2}} = \frac{1}{r^{2}} $
- Os termos cruzados se cancelam: $ \cos \theta \cdot (-\sin \theta) + \sin \theta \cdot \cos \theta = 0 $
Portanto:
Resposta
Demonstramos que: