Calcule a integral.
integral y e^-y d y

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral de $ y e^{-y} $ em relação a $ y $. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de integrais que envolvem produtos de funções. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada integração por partes. Vamos identificar duas partes na expressão que vão nos ajudar a aplicar essa técnica.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será $ u $ e qual será $ dv $. Uma boa regra é escolher $ u $ como a parte que vai simplificar quando derivarmos. No nosso caso, vamos deixar:
u

Passo 3

Agora, vamos derivar $ u $ para encontrar $ du $, e integrar $ dv $ para encontrar $ v $:
u
du

Passo 4

Com $ u $, $ du $, $ v $ e $ dv $ identificados, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
u
du
v

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral que ficou:
integral e^-y , dy = -e^-y + C
Então, substituindo de volta:
- y e^-y - e^-y + C
= -e^-y (y + 1) + C

Resposta

A integral de $ y e^{-y} , dy $ é:
y e^-y , dy

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