Calcule integral0^1(x e^x^2-x cos (x^2)) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de 0 a 1 de $ x e{x{2}} - x \cos(x^{2}) $ dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral0^1 x e^x^2, dx - integral0^1 x cos(x^2), dx
Isso significa que vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente e depois subtrair os resultados.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral: integral x e^x^2, dx. Aqui, usamos a substituição para simplificar. Seja $ u = x^{2} $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ du/dx = 2x $, ou seja, $ du = 2x, dx $. Isso nos permite reescrever $ x, dx $ como $ du/2 $.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral x e^x^2, dx = 12 integral e^u, du
A integral de $ e^{u} $ em relação a $ u $ é simplesmente $ e^{u} $, então:
e^u
Voltando para a variável original ($ x $):
u

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral x cos(x^2), dx. Usamos novamente a substituição. Seja $ u = x^{2} $, então $ du = 2x, dx $, ou seja, $ x, dx = du/2 $.

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
integral x cos(x^2), dx = 12 integral cos(u), du
A integral de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ \sin(u) $, então:
cos(u)
Voltando para a variável original ($ x $):
u

Passo 7

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
( 12 e^x^2 ) - ( 12 sin(x^2) ) + C
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 e 0.

Passo 8

Avaliação no limite superior ($ x = 1 $):
x = 1
Avaliação no limite inferior ($ x = 0 $):
12 e^1 - 12 sin(1)

Passo 9

Subtraindo os valores dos limites:
( 12 e - 12 sin(1) ) - 12 = e - sin(1) - 12

Resposta

O valor da integral é $ \frac{e - \sin(1) - 1}{2} $.

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