Calcule
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida de 0 a 1 de $ x e{x{2}} - x \cos(x^{2}) $ dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Isso significa que vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente e depois subtrair os resultados.
Passo 3
Vamos começar com a primeira integral:
. Aqui, usamos a substituição para simplificar. Seja $ u = x^{2} $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ du/dx = 2x $, ou seja, $ du = 2x, dx $. Isso nos permite reescrever $ x, dx $ como $ du/2 $.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
A integral de $ e^{u} $ em relação a $ u $ é simplesmente $ e^{u} $, então:
Voltando para a variável original ($ x $):
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral:
. Usamos novamente a substituição. Seja $ u = x^{2} $, então $ du = 2x, dx $, ou seja, $ x, dx = du/2 $.
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
A integral de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ \sin(u) $, então:
Voltando para a variável original ($ x $):
Passo 7
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 e 0.
Passo 8
Avaliação no limite superior ($ x = 1 $):
Avaliação no limite inferior ($ x = 0 $):
Passo 9
Subtraindo os valores dos limites:
Resposta
O valor da integral é $ \frac{e - \sin(1) - 1}{2} $.