Considere a função
f(x)=x e^-x
Encontre os pontos de interseção com os eixos coordenados e as assíntotas, caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = x e^{-x} $ e precisamos encontrar onde ela cruza os eixos coordenados e verificar se tem alguma assíntota. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos coordenados. Isso significa descobrir onde a função corta o eixo y e onde ela cruza o eixo x.

Passo 3

Interseção com o eixo y: Para encontrar onde a função cruza o eixo y, precisamos calcular $ f(0) $, já que isso representa o valor de y quando x é 0.
Calculando:
f(0)
Então, a função cruza o eixo y no ponto (0, 0).

Passo 4

Interseção com o eixo x: Para encontrar onde a função cruza o eixo x, devemos resolver a equação $ f(x) = 0 $.
Ou seja:
f(x) = 0
Sabemos que o produto de dois termos é zero se pelo menos um deles for zero.
Então:
x e^-x = 0
Mas $ e^{-x} $ nunca é zero para nenhum valor real de x, porque a função exponencial sempre é positiva.
Portanto, a única interseção com o eixo x é no ponto (0, 0), que já encontramos.

Passo 5

Agora, vamos verificar se existem assíntotas para essa função. Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
Para isso, analisamos os limites da função quando x tende para infinito e menos infinito.
Limite quando $ x \to \infty $:
x to infty
Sabemos que, nesse caso, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, então o limite é 0.
Limite quando $ x \to -\infty $:
limx to infty x e^-x = limx to infty xe^x
Aqui, $ e^{|x|} $ cresce muito rapidamente, e como x tende para negativo infinito, o produto tende para negativo infinito.

Passo 6

Analisando os limites, vemos que:
  • Quando $ x \to \infty $, $ f(x) \to 0 $, então temos uma assíntota horizontal em $ y = 0 $.
  • Quando $ x \to -\infty $, a função não se aproxima de uma linha reta específica, portanto, não há assíntota nesse caso.

Resposta

A função $ f(x) = x e^{-x} $ intercepta os eixos coordenados no ponto (0, 0) e possui uma assíntota horizontal em $ y = 0 $.

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