Encontre o limite.
lim x infty(1+2 x)^1 /(2 ln x)

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o limite limxtoinfty(1+2x)^1/(2ln x). Este é um problema de limites envolvendo potências e logaritmos, e vamos precisar usar a transformação a^b=exp(bln a) para simplificar.

Passo 2

Reescrevemos a expressão usando a função exponencial: (1+2x)^1/(2ln x)=exp!gl(ln(1+2x)2ln xgr)

Passo 3

Precisamos então estudar o limite do expoente: L=limxtoinftyln(1+2x)2ln x Note que isso é uma forma indeterminada infty/infty, então aplicamos a regra de l’Hôpital. Derivando numerador e denominador: numerador → ddx[ln(1+2x)] = 21+2x, denominador → ddx[2ln x] = 2x. Assim
em que
L=limxtoinfty2/(1+2x)2/x=limxtoinftyx1+2x=12

Passo 4

Como o limite do expoente é 1/2, voltamos à exponencial original: (1+2x)^1/(2ln x)toexpl(1/2r)=raize

Resposta

raize

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