Calcule integralc-2 x y d x+(x^2+y^2) d y onde C E a parte da elipse x^2+4 y^2=2 x comespondente a y >= 0 orientada no sentido anti-horário.
Resp. pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC (-2xy) , dx + (x^2 + y^2) , dy, onde C é a parte da elipse x^2 + 4y^2 = 2x que está acima do eixo y (ou seja, y >= 0) e está orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse x^2 + 4y^2 = 2x de uma forma mais fácil de trabalhar. Podemos completar o quadrado para x:
x^2 - 2x + 4y^2 = 0 (x - 1)^2 + 4y^2 = 1
Isso nos mostra que a elipse está centrada em (1, 0) com semi-eixos de comprimento 1 na direção x e $ \frac{1}{2} $ na direção 12 .

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema de Green, que diz:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde P = -2xy e Q = x^2 + y^2. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^2 + y^2) = 2x partial Ppartial y = partialpartial y (-2xy) = -2x

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( 2x - (-2x) ) dA = integral duplaD 4x , dA
Agora, precisamos determinar a região D sobre a qual vamos integrar. Como C é a parte de cima da elipse $ (x - 1)^{2} + 4y^{2} = 1 $, (x - 1)^2 + 4y^2 = 1 é a área dessa elipse acima do eixo D.

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que padronize a elipse. Vamos definir:
u = x - 1 v = 2y
Com isso, a equação da elipse fica:
u^2 + v^2 = 1
O jacobiano dessa transformação é:
partial (u, v)partial (x, y) = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y = 1 & 0 0 & 2 = 2

Passo 6

Agora, a integral se transforma em coordenadas u e v:
integral duplaD 4x , dA = integral duplaD' 4(u + 1) cdot 12 , du , dv = 2 integral duplaD' (u + 1) , du , dv
Onde D' é o círculo unitário u^2 + v^2 <= 1.

Passo 7

Vamos separar a integral:
2 integral duplaD' u , du , dv + 2 integral duplaD' 1 , du , dv
A primeira integral integral duplaD' u , du , dv é zero por simetria, já que a função u é ímpar em relação a u e a região D' é simétrica.
Então, sobra:
2 integral duplaD' 1 , du , dv = 2 cdot Área(D') = 2 cdot pi cdot 1^2 = 2pi Á

Resposta

O valor da integral é pi.

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