Calcule onde C E a parte da elipse comespondente a orientada no sentido anti-horário.
Resp. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a parte da elipse que está acima do eixo (ou seja, ) e está orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse de uma forma mais fácil de trabalhar. Podemos completar o quadrado para :
Isso nos mostra que a elipse está centrada em com semi-eixos de comprimento 1 na direção e $ \frac{1}{2} $ na direção .
Passo 3
Agora, aplicando o Teorema de Green, que diz:
Onde e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Agora, precisamos determinar a região sobre a qual vamos integrar. Como é a parte de cima da elipse $ (x - 1)^{2} + 4y^{2} = 1 $, é a área dessa elipse acima do eixo .
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que padronize a elipse. Vamos definir:
Com isso, a equação da elipse fica:
O jacobiano dessa transformação é:
Passo 6
Agora, a integral se transforma em coordenadas u e v:
integral duplaD 4x , dA = integral duplaD' 4(u + 1) cdot 12 , du , dv = 2 integral duplaD' (u + 1) , du , dv
Onde D' é o círculo unitário u^2 + v^2 <= 1.
Passo 7
Vamos separar a integral:
2 integral duplaD' u , du , dv + 2 integral duplaD' 1 , du , dv
A primeira integral integral duplaD' u , du , dv é zero por simetria, já que a função u é ímpar em relação a u e a região D' é simétrica.
Então, sobra:
2 integral duplaD' 1 , du , dv = 2 cdot Área(D') = 2 cdot pi cdot 1^2 = 2pi Á