Calcule, usando o teorema de Green, as integrais abaizo.
(a)
, onde
é a elipse
orientada no sentido anti-horário.
Resp.
.
(b)
, onde
é a curva parametrizada por
.
Resp.
.
(a)
Resp.
(b)
Resp.
Passo 1
Aqui a ideia geral é usar o Teorema de Green para transformar cada integral de linha
numa integral dupla sobre a região interna
, calculando
. Precisamos verificar que
e
são suaves em
e depois achar a área de cada região fechada pelas curvas dadas.
Passo 2
Para o item (a) temos
e
. Calculando as derivadas parciais:
Logo o integrando fica
Passo 3
Assim a integral de linha vira a integral da função constante 1 sobre a região
interna à elipse
. Reescrevendo em forma padrão:
logo os semi-eixos são
Passo 4
No item (b) temos
e
. A curva
é uma elipse centrada em
com semi-eixos
em
e
em
. Como todo ponto de
satisfaz
, não há origem no interior e
são suaves lá, então podemos aplicar Green.
Passo 5
Agora calculemos as derivadas parciais em (b):
Subtraindo vem
Passo 6
De novo a integral de linha vira a integral de 1 sobre a área da elipse com semi-eixos
e
. Então
Resposta
(a)
, (b)