Calcule, usando o teorema de Green, as integrais abaizo.
(a) ointC e^x sin y d x+(x+e^x cos y) d y, onde C é a elipse 3 x^2+8 y^2=24 orientada no sentido anti-horário.
Resp. 2 raiz6 pi.
(b) ointC 2 arctan (yx) d x+(ln (x^2+y^2)+x) d y, onde C é a curva parametrizada por alpha(t)=(4+2 cos (t), 4+sin t), com 0 <= t <= 2 pi.
Resp. 2 pi.

Passo 1

Aqui a ideia geral é usar o Teorema de Green para transformar cada integral de linha
ointC P,dx + Q,dy numa integral dupla sobre a região interna D, calculando
integral duplaD (partialx Q - partialy P),dA. Precisamos verificar que P e Q são suaves em D e depois achar a área de cada região fechada pelas curvas dadas.

Passo 2

Para o item (a) temos P(x,y)=e^xsin y e Q(x,y)=x+e^xcos y. Calculando as derivadas parciais:
partialx Q = 1 + e^xcos y, partialy P = e^xcos y
Logo o integrando fica partialx Q - partialy P = 1.

Passo 3

Assim a integral de linha vira a integral da função constante 1 sobre a região D interna à elipse 3x^2+8y^2=24. Reescrevendo em forma padrão:
x^28 + y^23 = 1,
logo os semi-eixos são a=raiz8=2raiz2 e b=raiz3. A área de D é
Area(D)=pi ab = pi,(2raiz2),(raiz3) = 2raiz6,pi

Passo 4

No item (b) temos P(x,y)=2arctan(y/x) e Q(x,y)=ln(x^2+y^2)+x. A curva C é uma elipse centrada em (4,4) com semi-eixos 2 em x e 1 em y. Como todo ponto de D satisfaz x>=2>0, não há origem no interior e P,Q são suaves lá, então podemos aplicar Green.

Passo 5

Agora calculemos as derivadas parciais em (b):
partialx Q = 2xx^2+y^2 + 1, partialy P = 2cdotxx^2+y^2
Subtraindo vem
partialx Q - partialy P = l(2xx^2+y^2+1r) - 2xx^2+y^2 = 1

Passo 6

De novo a integral de linha vira a integral de 1 sobre a área da elipse com semi-eixos a=2 e b=1. Então
Area(D)=pi,2,1 = 2pi

Resposta

(a) 2raiz6pi, (b) 2pi

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