Encontre f sabendo que f(0)=0 e f^prime(0)=0 e
f^prime prime(x)=e^2 x+e^-4 x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a função $ f $ sabendo que $ f(0) = 0 $, $ f’(0) = 0 $ e que a segunda derivada de $ f $ é dada por $ f’’(x) = e^{2x} + e^{-4x} $. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente integração de funções e aplicação de condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada $ f’(x) $ integrando $ f’’(x) $. A função dada é $ f’’(x) = e^{2x} + e^{-4x} $.
Integrando cada termo separadamente:
f'(x)
Aqui, $ C $ é a constante de integração.

Passo 3

Agora, usamos a condição inicial $ f’(0) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ f’(x) $:
f'(0) = 0
Portanto, a primeira derivada fica:
C

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função $ f(x) $ integrando $ f’(x) $:
f(x)
Integrando cada termo separadamente:
f'(x)
Onde $ D $ é a constante de integração.

Passo 5

Utilizamos a condição inicial $ f(0) = 0 $ para encontrar $ D $.
Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ f(x) $:
f(0) = 0

Resposta

A função $ f $ que satisfaz as condições dadas é:
f

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