Encontre
sabendo que
e
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a função $ f $ sabendo que $ f(0) = 0 $, $ f’(0) = 0 $ e que a segunda derivada de $ f $ é dada por $ f’’(x) = e^{2x} + e^{-4x} $. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente integração de funções e aplicação de condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada $ f’(x) $ integrando $ f’’(x) $. A função dada é $ f’’(x) = e^{2x} + e^{-4x} $.
Integrando cada termo separadamente:
Aqui, $ C $ é a constante de integração.
Passo 3
Agora, usamos a condição inicial $ f’(0) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ f’(x) $:
Portanto, a primeira derivada fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função $ f(x) $ integrando $ f’(x) $:
Integrando cada termo separadamente:
Onde $ D $ é a constante de integração.
Passo 5
Utilizamos a condição inicial $ f(0) = 0 $ para encontrar $ D $.
Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ f(x) $:
Resposta
A função $ f $ que satisfaz as condições dadas é: