Calcule integralC F cdot d r=integrala^b F(sigma(t)) cdot sigma^prime(t) d t, onde F: C subset R^n longrightarrow R^n (função vetorial) e C uma curva, definida pela função sigma:[a, b] longrightarrow R^n.
Verifique que integralC F cdot d r é independente do caminho, achando seu potencial, em caso afirmativo
F(x, y)=(3 x^2 y, x^3+4 y^3)

Passo 1

O enunciado pede calcular
integralCFcdot d r = integrala^bF(sigma(t))cdot sigma'(t),dt
para o campo vetorial
F(x,y)=l(3x^2y,;x^3+4y^3r)
e verificar se essa integral é independente do caminho. Para isso, vamos buscar um potencial f tal que nabla f = F.

Passo 2

Denote P(x,y)=3x^2y e Q(x,y)=x^3+4y^3. Um campo em R^2 é conservativo se
partial Ppartial y=partial Qpartial x
Aqui
partial Ppartial y=3x^2, partial Qpartial x=3x^2,
logo são iguais em todo R^2. Assim F é conservativo num domínio convexo (ou simplesmente conectado).

Passo 3

Para encontrar o potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral 3x^2y,dx = x^3y + g(y),
onde g depende só de y. Diferenciando em y e igualando a Q:
partial fpartial y = x^3 + g'(y) overset!= x^3 + 4y^3 Longrightarrow g'(y)=4y^3 Longrightarrow g(y)=y^4+C
Tomando C=0 (não altera o gradiente), temos
f(x,y)=x^3y + y^4

Passo 4

Como F é conservativo com potencial f, a integral de linha independe do caminho e vale
integralCFcdot d r = fl(sigma(b)r);-;fl(sigma(a)r)

Resposta

O potencial é
f(x,y)=x^3y + y^4,
e
integralCFcdot d r = fl(sigma(b)r) - fl(sigma(a)r)

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