Calcule
, onde
(função vetorial) e
uma curva, definida pela função
.
Verifique que
é independente do caminho, achando seu potencial, em caso afirmativo
Verifique que
Passo 1
O enunciado pede calcular
para o campo vetorial
e verificar se essa integral é independente do caminho. Para isso, vamos buscar um potencial
tal que
.
Passo 2
Denote
e
. Um campo em
é conservativo se
Aqui
logo são iguais em todo
. Assim
é conservativo num domínio convexo (ou simplesmente conectado).
Passo 3
Para encontrar o potencial
, integramos
em relação a
:
onde
depende só de
. Diferenciando em
e igualando a
:
Tomando
(não altera o gradiente), temos
Passo 4
Como
é conservativo com potencial
, a integral de linha independe do caminho e vale
Resposta
O potencial é
e