Verifique que cada um dos seguintes limites é igual a zero. Sugestão. Mostre que o limite lim substackx x0 y y0|f(x, y)| é zero, mostrando que |f(x, y)| <=|g(x, y)| e que lim substackx x0 y y0|g(x, y)| = 0.
6. lim substackx 1 y 4 x^2 y^2-8 x^3 raizyx^2+y^2-1.

Passo 1

O enunciado pede calcular
lim(x,y)to(1,4)x^2y^2-8x^3raizyx^2+y^2-1
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis. A sugestão orienta mostrar que
lim|f(x,y)|=0 construindo uma função g(x,y) tal que lvert frvert<= g e lim g=0.

Passo 2

Em (1,4) o denominador vale
1^2+4^2-1=16neq0
Como x^2+y^2-1 é contínua, existe vizinhança de (1,4) em que
lvert x^2+y^2-1rvert>= m>0
Por exemplo, tomemos de<a=mintfrac12,1. Se 0<raiz(x-1)^2+(y-4)^2<de<a então
lvert x-1rvert<tfrac12 e lvert y-4rvert<1, o que implica
x^2+y^2>=l(tfrac12r)^2+3^2=9,25 Longrightarrow x^2+y^2-1>=8,25>8
Logo, podemos fixar m=8 tal que para (x,y) próximos de (1,4) vale
lvert x^2+y^2-1rvert>=8

Passo 3

Fatoramos o numerador:
x^2y^2-8x^3raizy = x^2raizy,l(y^3/2-8xr)
Ainda com lvert x-1rvert<tfrac12 e lvert y-4rvert<1 temos xin[1/2,3/2] e yin[3,5], logo
x^2raizy<=94raiz5=L
Para o outro fator escrevemos
y^3/2-8x =(y^3/2-8)-8(x-1),
onde
|y^3/2-8| =|(raizy-2)(y+2raizy+4)| <= K,|y-4|
com K=maxyin[3,5]y+2raizy+4raizy+2. Assim
|y^3/2-8x|<= K,|y-4|+8,|x-1|

Passo 4

Combinando as estimativas do numerador e do denominador, para (x,y) próximos de (1,4) segue
|x^2y^2-8x^3raizy| <= Ll(K,|y-4|+8,|x-1|r) <= Cl(|x-1|+|y-4|r),
onde C=LmaxK,8. Portanto
l|f(x,y)r| =|x^2y^2-8x^3raizy||x^2+y^2-1| <= Cm,l(|x-1|+|y-4|r)

Passo 5

Definimos
g(x,y)=Cml(|x-1|+|y-4|r)
Temos lvert f(x,y)rvert<= g(x,y) e
lim(x,y)to(1,4)g(x,y) =Cm(0+0)=0
Logo por comparação lim(x,y)to(1,4)f(x,y)=0.

Resposta

0

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