Verifique que cada um dos seguintes limites é igual a zero. Sugestão. Mostre que o limite
é zero, mostrando que
e que
.
6.
.
6.
Passo 1
O enunciado pede calcular
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis. A sugestão orienta mostrar que
construindo uma função
tal que
e
.
Passo 2
Em
o denominador vale
Como
é contínua, existe vizinhança de
em que
Por exemplo, tomemos
. Se
então
e
, o que implica
Logo, podemos fixar
tal que para
próximos de
vale
Passo 3
Fatoramos o numerador:
Ainda com
e
temos
e
, logo
Para o outro fator escrevemos
onde
com
. Assim
Passo 4
Combinando as estimativas do numerador e do denominador, para
próximos de
segue
onde
. Portanto
Passo 5
Definimos
Temos
lvert f(x,y)rvert<= g(x,y) e
Logo por comparação
lim(x,y)to(1,4)f(x,y)=0 .