Sejam I e J intervalos abertos da reta, alpha: I R^n uma curva diferenciável com alpha^prime(t) neq 0, forall t in I e h: J I uma função diferenciável tal que h(J)=I e h^prime(s) neq 0, forall s in J. Então mostre que a aplicação beta=alpha circ h: J R^n é uma curva diferenciável com beta^prime(s) neq 0, forall s in J e que tem o mesmo traço de alpha.

Passo 1

O enunciado dá uma curva diferenciável regular alphacolon ItoR^n (isto é, alpha'(t)neq0 para todo tin I) e uma reparametrização hcolon Jto I diferenciável, sobrejetora ( h(J)=I) e sem pontos críticos ( h'(s)neq0 para todo sin J). Precisamos mostrar que
  1. beta=alphacirc h é diferenciável e regular ( beta'(s)neq0),
  2. o traço de beta coincide com o traço de alpha.

Passo 2

Como alpha e h são diferenciáveis, pela regra da cadeia a composição
beta(s)=alphal(h(s)r)
é diferenciável em J. Calculamos a derivada:
beta'(s) =ddsl(alpha(h(s))r) =alpha'(h(s));h'(s)
Aqui alpha'(h(s))neq0 (pois h(s)in I) e h'(s)neq0, logo o produto escalar resulta em beta'(s)neq0. Portanto beta é regular.

Passo 3

O traço de beta é o conjunto
beta(s):sin J =alpha(h(s)):sin J =alpha(t):tin h(J) =alpha(t):tin I,
pois h(J)=I. Isso mostra que beta percorre exatamente os mesmos pontos que alpha.

Resposta

A curva beta=alphacirc h é diferenciável e regular ( beta'(s)neq0 para todo sin J) e tem o mesmo traço que alpha.

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