Sejam
e
intervalos abertos da reta,
uma curva diferenciável com
e
uma função diferenciável tal que
e
. Então mostre que a aplicação
é uma curva diferenciável com
e que tem o mesmo traço de
.
Passo 1
O enunciado dá uma curva diferenciável regular
(isto é,
para todo
) e uma reparametrização
diferenciável, sobrejetora (
) e sem pontos críticos (
para todo
). Precisamos mostrar que
-
é diferenciável e regular ( ), - o traço de
coincide com o traço de .
Passo 2
Como
e
são diferenciáveis, pela regra da cadeia a composição
é diferenciável em
. Calculamos a derivada:
Aqui
(pois
) e
, logo o produto escalar resulta em
. Portanto
é regular.
Passo 3
O traço de
é o conjunto
pois
. Isso mostra que
percorre exatamente os mesmos pontos que
.
Resposta
A curva
é diferenciável e regular (
para todo
) e tem o mesmo traço que
.