Calcule integralC F cdot d r=integrala^b F(sigma(t)) cdot sigma^prime(t) d t, onde F: C subset R^n longrightarrow R^n (função vetorial) e C uma curva, definida pela função sigma:[a, b] longrightarrow R^n.
Verifique que integralC F cdot d r é independente do caminho, achando seu potencial, em caso afirmativo
F(x, y)=(2 x y^2-y^3, 2 x^2 y-3 x y^2+2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralCFcdot d r =integrala^bFl(sigma(t)r)cdotsigma'(t),d t
para
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r) =l(2xy^2-y^3,,2x^2y-3xy^2+2r),
verificando se esse integral é independente do caminho. Para isso, vamos usar o critério de campo conservativo em R^2 (simplesmente conexo) e, em caso afirmativo, achar um potencial phi(x,y) tal que nablaphi=F.

Passo 2

Aplicamos o teste de igualdade das derivadas cruzadas:
partial Ppartial y =partialpartial yl(2xy^2-y^3r) =4xy-3y^2,
partial Qpartial x =partialpartial xl(2x^2y-3xy^2+2r) =4xy-3y^2
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em todo R^2, o campo F é conservativo e o integral de linha independe do caminho.

Passo 3

Procuramos phi(x,y) satisfazendo
partialphipartial x=P(x,y)=2xy^2-y^3
Integramos em x:
phi(x,y) =integrall(2xy^2-y^3r),dx =x^2y^2-x,y^3+h(y),
onde h(y) é função a determinar. Agora impomos
partialphipartial y =2x^2y-3xy^2+h'(y) =Q(x,y)=2x^2y-3xy^2+2
Daí
h'(y)=2 Longrightarrow h(y)=2y+C
Podemos desprezar a constante C, pois ela se cancela no integral de linha.

Passo 4

O potencial fica
phi(x,y)=x^2y^2-x,y^3+2y
Como o campo é conservativo, para qualquer curva sigma de sigma(a) a sigma(b) vale
integralCFcdot d r =phil(sigma(b)r)-phil(sigma(a)r)

Resposta

phi(x,y)=x^2y^2-x,y^3+2y, integralCFcdot dr =phil(sigma(b)r)-phil(sigma(a)r)

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