Calcule
, onde
(função vetorial) e
uma curva, definida pela função
.
Verifique que
é independente do caminho, achando seu potencial, em caso afirmativo
Verifique que
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para
verificando se esse integral é independente do caminho. Para isso, vamos usar o critério de campo conservativo em
(simplesmente conexo) e, em caso afirmativo, achar um potencial
tal que
.
Passo 2
Aplicamos o teste de igualdade das derivadas cruzadas:
Como
em todo
, o campo
é conservativo e o integral de linha independe do caminho.
Passo 3
Procuramos
satisfazendo
Integramos em
:
onde
é função a determinar. Agora impomos
Daí
Podemos desprezar a constante
, pois ela se cancela no integral de linha.
Passo 4
O potencial fica
Como o campo é conservativo, para qualquer curva
de
a
vale