Encontre uma solução particular explícita para os problemas de valor inicial
2 x d y+x^2 y d y=0

Passo 1

O enunciado, escrito na forma de diferencial, é
2x,dy + x^2y,dx = 0
Este é um caso de equação de primeira ordem linear em y. Para resolver, vamos primeiro colocá-la na forma padrão
dydx + P(x),y = 0,
e depois usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo por dx e em seguida por 2x (supondo xneq0), obtemos
2x,dydx + x^2y = 0 Longrightarrow dydx + x2,y = 0
Aqui P(x)=tfracx2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral tfracx2,dxr) = exp!l(tfracx^24r)

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x), temos
e^x^2/4,dydx + x2,e^x^2/4,y = 0 Longrightarrow ddx!l(y,e^x^2/4r) = 0
Integrando em ambos os lados,
y,e^x^2/4 = C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = C,e^-x^2/4
Para atender a um problema de valor inicial
y(x0) = y0,
basta escolher
C = y0,e^x0^2/4
e fica a solução particular explícita
y(x) = y0,exp!l(-tfracx^2 - x0^24r)

Resposta

boxedy(x) = y0,exp!l(-tfracx^2 - x0^24r)

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