Calcule
nos seguintes casos:
(a)
é o círculo
.
(b)
é a fronteira da regiāo
.
©
é o segmento de reta ligando a origem ao ponto
.
(d)
,
é o arco de parábola
e
de
.
(e)
é o segmento de
à
, seguido pelo segmento de (2,0,1) à
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. No caso (a), temos:
- Campo vetorial:
- Curva
: o círculo definido por
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e talvez usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar o Teorema de Green aqui. Esse teorema é super útil porque transforma a integral de linha em uma integral dupla, o que às vezes é mais fácil de calcular.
O Teorema de Green diz que:
Onde
e
é a região dentro da curva
.
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a região
, que é o interior do círculo
. Em coordenadas polares, isso fica mais fácil.
Em coordenadas polares:
E o elemento de área
se transforma em
.
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Multiplicando pelo
do elemento de área:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 7
Agora, nossa integral dupla se transforma em duas integrais em
:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Para a primeira integral, sabemos que:
E para a segunda:
Passo 8
Substituindo os valores:
Resposta
A integral de linha é igual a
.