Calcule integralC F cdot d r nos seguintes casos:
(a) F=(x^2+y^2) i+3 x y^2 j, C é o círculo x^2+y^2=9.
(b) F=(3 x^2-8 y^2) i+(4 y-6 x y) j, C é a fronteira da regiāo D=(x, y) in R^2: x+y <= 2, x >= 0, y >= 0.
© F=x y i-y j+k, C é o segmento de reta ligando a origem ao ponto A=(1,1,1).
(d) F=y^2 i+x^2 j, C é o arco de parábola x=t, y=t^2 e z=0 de 1 <= t <= 2.
(e) F=z^2 i+x^2 k, C é o segmento de (1,0,1) à (2,0,1), seguido pelo segmento de (2,0,1) à (2,0,4).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C. No caso (a), temos:
  • Campo vetorial: F = (x^2 + y^2) i + 3xy^2 j
  • Curva C: o círculo definido por x^2 + y^2 = 9
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e talvez usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar o Teorema de Green aqui. Esse teorema é super útil porque transforma a integral de linha em uma integral dupla, o que às vezes é mais fácil de calcular.
O Teorema de Green diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
Onde F = Pi + Qj e D é a região dentro da curva C.
Vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial:
P = x^2 + y^2 e Q = 3xy^2

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (3xy^2) = 3y^2
partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 + y^2) = 2y
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
ointC F cdot dr = integral duplaD (3y^2 - 2y) dx,dy

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a região D, que é o interior do círculo x^2 + y^2 = 9. Em coordenadas polares, isso fica mais fácil.
Em coordenadas polares:
x = rcostheta e y = rsintheta
E o elemento de área dx,dy se transforma em r,dr,dtheta.
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD (3y^2 - 2y) dx,dy = integral0^2pi integral0^3 (3(rsintheta)^2 - 2(rsintheta)) r,dr,dtheta

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
3(rsintheta)^2 - 2(rsintheta) = 3r^2sin^2theta - 2rsintheta
Multiplicando pelo r do elemento de área:
(3r^2sin^2theta - 2rsintheta) cdot r = 3r^3sin^2theta - 2r^2sintheta
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^3 (3r^3sin^2theta - 2r^2sintheta) dr,dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a r primeiro:
Primeiro termo:
integral0^3 3r^3sin^2theta , dr = 3sin^2theta integral0^3 r^3 dr = 3sin^2theta [ r^44 ]0^3 = 3sin^2theta ( 814 ) = 2434 sin^2theta
Segundo termo:
integral0^3 -2r^2sintheta , dr = -2sintheta integral0^3 r^2 dr = -2sintheta [ r^33 ]0^3 = -2sintheta ( 273 ) = -18sintheta

Passo 7

Agora, nossa integral dupla se transforma em duas integrais em theta:
integral0^2pi ( 2434 sin^2theta - 18sintheta ) dtheta = 2434 integral0^2pi sin^2theta , dtheta - 18 integral0^2pi sintheta , dtheta
Vamos resolver cada uma separadamente.
Para a primeira integral, sabemos que:
integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi
E para a segunda:
integral0^2pi sintheta , dtheta = 0

Passo 8

Substituindo os valores:
2434 cdot pi - 18 cdot 0 = 2434 pi

Resposta

A integral de linha é igual a dfrac2434 pi.

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