O que significa dizer que
é contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a pergunta. A questão está perguntando o que significa dizer que a função $ f $ é contínua no intervalo $ (a, b) $. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções e como ela se aplica em um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua em um ponto. Uma função $ f $ é contínua em um ponto $ c $ se três condições forem satisfeitas:
- $ f© $ está definida: Ou seja, a função tem um valor em $ c $.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $ existe.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $ é igual a $ f© $.
Matematicamente, isso é expresso como:
Passo 3
Agora, quando dizemos que $ f $ é contínua no intervalo $ (a, b) $, estamos afirmando que todas as três condições acima são verdadeiras para todos os pontos dentro desse intervalo. Ou seja, para qualquer $ c $ que esteja entre $ a $ e $ b $, a função $ f $ precisa ser contínua em $ c $.
Passo 4
Isso significa que não há “quebras”, “saltos” ou “pontos onde a função não está definida” dentro do intervalo $ (a, b) $. A função segue de maneira suave de $ a $ até $ b $ sem interrupções.
Passo 5
Para resumir, a continuidade no intervalo $ (a, b) $ garante que a função $ f $ está bem comportada em todo esse intervalo, permitindo que possamos usar diversas ferramentas de cálculo, como a integração e a derivação, sem problemas.
Resposta
Dizer que $ f $ é contínua em $ (a, b) $ significa que, para todo ponto $ c $ dentro desse intervalo, a função $ f $ não apresenta quebras ou interrupções. Formalmente, para todo $ c \in (a, b) $, temos:
Isso garante que a função $ f $ é suave e contínua em todo o intervalo $ (a, b) $.