Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI separável dado por y′=e^{−y}·t com a condição inicial y(0)=ln(8+1). O conteúdo é equação diferencial de variáveis separáveis e vamos usar separação de variáveis e integração para encontrar a solução.
Passo 2
Reescrevendo a equação diferencial explicitamente como uma equação separável, temos dy/dt = t·e^{−y}. Para separar as variáveis, multiplicamos ambos os lados por e^y dt, obtendo e^y
dy = t
dt. Aqui aplicamos o método de separação de variáveis, que consiste em agrupar termos envolvendo y de um lado e termos envolvendo t do outro.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Primeiro escrevemos as integrais em blocos para maior clareza:
Calculando as integrais, obtemos:
onde C é a constante de integração.
Passo 4
Para determinar C, usamos a condição inicial y(0)=ln(9). Substituindo t=0 e y(0) na expressão e^y = t^2/2 + C, vem: e^{ln(9)} = 9 = 0 + C, logo C=9.
Passo 5
Finalmente, isolamos y em função de t aplicando o ln em ambos os lados:
Passo 6
Com isso, chegamos à solução do PVI.
Resposta
y(t)=\ln\bigl(\tfrac{t^2}{2}+9\bigr)