Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime=e^-y t, y(0)=ln (8+1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI separável dado por y′=e^{−y}·t com a condição inicial y(0)=ln(8+1). O conteúdo é equação diferencial de variáveis separáveis e vamos usar separação de variáveis e integração para encontrar a solução.

Passo 2

Reescrevendo a equação diferencial explicitamente como uma equação separável, temos dy/dt = t·e^{−y}. Para separar as variáveis, multiplicamos ambos os lados por e^y dt, obtendo e^y
dy = t
dt. Aqui aplicamos o método de separação de variáveis, que consiste em agrupar termos envolvendo y de um lado e termos envolvendo t do outro.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Primeiro escrevemos as integrais em blocos para maior clareza:
integral e^y,dy = integral t,dt
Calculando as integrais, obtemos:
e^y = t^22 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para determinar C, usamos a condição inicial y(0)=ln(9). Substituindo t=0 e y(0) na expressão e^y = t^2/2 + C, vem: e^{ln(9)} = 9 = 0 + C, logo C=9.

Passo 5

Finalmente, isolamos y em função de t aplicando o ln em ambos os lados:
y(t) = lnl(t^22 + 9r)

Passo 6

Com isso, chegamos à solução do PVI.

Resposta

y(t)=\ln\bigl(\tfrac{t^2}{2}+9\bigr)

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