Calcule integralC nabla f cdot d r, onde f(x, y, z)=x y^2 z+x^2 e C é a curva dada por x=t^2, y=e^j^2-1, z=t^2+t,-1 <= t <= 1.

Passo 1

Temos f(x,y,z)=xy^2z+x^2 e a curva C é dada pela parametrização r(t)=(t^2,;e^t^2-1,;t^2+t) para -1<= t<= 1. O conteúdo aqui é integral de linha de campo conservativo; vamos usar o Teorema Fundamental para campos gradiente.

Passo 2

Como nabla f é o próprio gradiente de f, o campo é conservativo. Portanto

Passo 3

Calculamos os pontos finais da curva:
Para t=1:
Para nx(1)=1, y(1)=e^1^2-1=1, z(1)=1^2+1=2:

Passo 4

Agora avaliamos f nesses pontos:
Para r(1)=(1,1,2):
Para nf(1,1,2)=1cdot1^2cdot2+1^2=2+1=3:

Passo 5

Finalmente, pelo Teorema Fundamental:

Resposta

2

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