Sejam dados um campo vetorial F e uma curva C.
(a) Mostre que F é conservativo e determine uma função potencial f.
(b) Calcule integralC F cdot d r usando o Teorema 2.
© Calcule integralC F cdot d r substituindo, primeiramente, C por um segmento de reta que tenha os mesmos pontos inicial e final.
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F(x, y)=lang<=sen y+e^x, x cos yrang<=,
C: x=t, y=t(3-t), 0 <= t <= 3

Passo 1

A questão fornece o campo vetorial F(x,y)=lang<=sin y+e^x,;xcos yrang<= e a curva C:,x=t,,y=t(3-t),,0<= t<=3. Pede-se (a) mostrar que F é conservativo e achar potencial f, (b) calcular integralC Fcdot d r pelo Teorema Fundamental, © recalcular essa integral tomando um segmento de reta de mesmo início e fim. Vamos usar teoria de campos conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Para checar se F=(P,Q) é conservativo num domínio simplesmente conexo ( Bbb R^2), computamos
partial Ppartial y=partialpartial y(sin y+e^x)=cos y
partial Qpartial x=partialpartial x(xcos y)=cos y
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, F é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial f(x,y), integramos partial f/partial x=P:
partial f/partial x=sin y+e^x implica
f(x,y)=xsin y+e^x+g(y).
Derivando em y e igualando a Q=xcos y:
partial f/partial y=xcos y+g'(y)=xcos y leva a g'(y)=0, logo g(y)=constante. Podemos tomar
f(x,y)=xsin y+e^x.

Passo 4

Usando o Teorema Fundamental para integrais de linha, temos
integralC Fcdot d r=f(r(3))-f(r(0)).
Os pontos são
r(0)=(0,0), r(3)=(3,0).
Logo
f(3,0)=3sin0+e^3=e^3,
f(0,0)=0cdot0+e^0=1,
então
integralC Fcdot d r=e^3-1.

Passo 5

Agora substituímos C por um segmento de reta de (0,0) a (3,0). Parametrização: x=t,,y=0,,0<= t<=3. Então
d r=lang<=1,0rang<= dt,
F(x,0)=lang<= e^x,,xrang<=,
e
Fcdot d r=e^x,dt.
Integrando:
integral0^3e^t,dt=e^3-1, concordando com o resultado anterior.

Resposta

e^3-1

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