Sejam dados um campo vetorial F e uma curva
.
(a) Mostre que
é conservativo e determine uma função potencial
.
(b) Calcule
usando o Teorema 2.
© Calcule
substituindo, primeiramente,
por um segmento de reta que tenha os mesmos pontos inicial e final.
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,
(a) Mostre que
(b) Calcule
© Calcule
14
Passo 1
A questão fornece o campo vetorial
e a curva
. Pede-se (a) mostrar que
é conservativo e achar potencial
, (b) calcular
pelo Teorema Fundamental, © recalcular essa integral tomando um segmento de reta de mesmo início e fim. Vamos usar teoria de campos conservativos e integrais de linha.
Passo 2
Para checar se
é conservativo num domínio simplesmente conexo (
), computamos
Como ,
é conservativo.
Como
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
:
implica
.
Derivando em e igualando a
:
leva a
, logo
. Podemos tomar
.
Derivando em
Passo 4
Usando o Teorema Fundamental para integrais de linha, temos
.
Os pontos são
,
.
Logo
,
,
então
.
Os pontos são
Logo
então
Passo 5
Agora substituímos
por um segmento de reta de
a
. Parametrização:
. Então
,
,
e
.
Integrando:
, concordando com o resultado anterior.
e
Integrando: