Calcule
onde
é a curva braquistócrona, dada por
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral
, onde
é a curva inversa da braquistócrona
para
no intervalo
, e a função
é dada por
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre integrais de linha envolvendo o gradiente de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um lance importante: a integral de linha do gradiente de uma função
ao longo de uma curva
é igual à diferença dos valores de
nos pontos final e inicial da curva. Matemáticamente, isso fica assim:
Isso é conhecido como o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.
Passo 3
Como a gente tá trabalhando com a curva inversa
, significa que estamos percorrendo a curva
no sentido contrário. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos inicial e final da curva
. A parametrização dada é
para
entre
e
.
-
Para
, temos: -
-
Para
, temos: -
Passo 5
Vamos calcular
nos pontos inicial e final:
-
Ponto Inicial (
): -
Ponto Final (
):
Passo 6
Aplicando o que vimos no Passo 3:
Resposta
O valor da integral é
.