Calcule integralC^-1 nabla f d r onde C é a curva braquistócrona, dada por gamma(t)=(t-sin t, 1-cos t), t in[-2 pi, 2 pi] e f(x, y)=x cos x+y cos y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral integralC^-1 nabla f cdot dr, onde C^-1 é a curva inversa da braquistócrona gamma(t) = (t - sin t, 1 - cos t) para t no intervalo [-2pi, 2pi], e a função f(x, y) é dada por f(x, y) = x cos x + y cos y. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre integrais de linha envolvendo o gradiente de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um lance importante: a integral de linha do gradiente de uma função f ao longo de uma curva C é igual à diferença dos valores de f nos pontos final e inicial da curva. Matemáticamente, isso fica assim:
integralC nabla f cdot dr = f(Pfinal) - f(Pinicial)
Isso é conhecido como o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.

Passo 3

Como a gente tá trabalhando com a curva inversa C^-1, significa que estamos percorrendo a curva C no sentido contrário. Então, a integral fica:
integralC^-1 nabla f cdot dr = f(Pinicial) - f(Pfinal)

Passo 4

Agora, vamos identificar os pontos inicial e final da curva C. A parametrização dada é gamma(t) = (t - sin t, 1 - cos t) para t entre -2pi e 2pi.
  • Para t = -2pi, temos:
    • x = -2pi - sin(-2pi) = -2pi - 0 = -2pi
    • y = 1 - cos(-2pi) = 1 - 1 = 0
  • Para t = 2pi, temos:
    • x = 2pi - sin(2pi) = 2pi - 0 = 2pi
    • y = 1 - cos(2pi) = 1 - 1 = 0

Passo 5

Vamos calcular f nos pontos inicial e final:
  • Ponto Inicial ( -2pi, 0):
    f(-2pi, 0) = (-2pi) cos(-2pi) + 0 cos 0 = (-2pi)(1) + 0 = -2pi
  • Ponto Final ( 2pi, 0):
    f(2pi, 0) = (2pi) cos(2pi) + 0 cos 0 = (2pi)(1) + 0 = 2pi

Passo 6

Aplicando o que vimos no Passo 3:
integralC^-1 nabla f cdot dr = f(-2pi, 0) - f(2pi, 0) = (-2pi) - (2pi) = -4pi

Resposta

O valor da integral é -4pi.

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