Calcule integralC x^4 d x+x y d y, onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de (0,0) a (2,0), de (2,0) a (0,2) e de (0,2) a (0,0).
Dica: Note que a região R é do tipo I , limitada superiormente por y=2-x (equação da reta).
R: 8/6

Passo 1

O exercício pede ointC x^4,dx + x y,dy sobre o triângulo de vértices (0,0)→(2,0)→(0,2)→(0,0). O conteúdo envolve Teorema de Green para converter a integral de linha numa integral dupla sobre a região R triangular, que é do tipo I limitada por 0<= x<=2 e 0<= y<=2-x.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaR l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr)dA
Aqui P(x,y)=x^4 e Q(x,y)=xy, então
partial Qpartial x=y, partial Ppartial y=0,
e o integrando fica y.

Passo 3

Substituindo na integral dupla, obtemos
integral duplaR y,dA = integralx=0^2integraly=0^2-x y,dy,dx

Passo 4

Primeiro calcule a integral interna em y:
integral0^2-x y,dy = l[tfrac12y^2r]0^2-x = tfrac12(2-x)^2

Passo 5

Agora integra em x:
integral0^2 tfrac12(2-x)^2,dx = tfrac12integral0^2(2-x)^2,dx = tfrac12cdot 83 = 43

Passo 6

Logo
ointC x^4,dx + x y,dy = 43

Resposta

4/3

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