Desenvolva a função dada em uma série de senos ou cossenos conforme o caso.
Passo 1
O enunciado define uma função periódica de período 4π dada por partes em (−2π,2π) e pede a expansão em série de Fourier. O conteúdo é séries de Fourier de funções periódicas e vamos precisar usar a definição dos coeficientes para período 2L, com L=2π, além de explorar a paridade de f.
Passo 2
Observamos que f(x) é ímpar, pois f(−x)=−f(x) em todo o domínio. Para funções ímpares de período 2L só aparecem termos de seno na série. Usamos a forma geral
f(x)=sumn=1^inftybnsinl(tfracnpi xLr)
com
bn=1Lintegral-L^Lf(x),sinl(tfracnpi xLr),dx
e aqui L=2π, então os senos ficam sin(nx/2) e
bn=12πintegral-2π^2πf(x),sinl(tfracn x2r),dx
Passo 3
Para aproveitar a ímparidade simplificamos para
bn=1πintegral0^2πf(x),sinl(tfracn x2r),dx
E como f é definida por partes em [0,2π], separamos em duas integrais:
I1=integral0^πx,sinl(tfracn x2r)dx,
I2=integralπ^2πpi,sinl(tfracn x2r)dx
Passo 4
Calculamos I_1 por partes: seja u=x, dv=\sin(nx/2)dx, então du=dx, v=−\tfrac{2}{n}\cos(nx/2). Assim