Desenvolva a função dada em uma série de senos ou cossenos conforme o caso.
f(x)=cc-pi, & -2 pi

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período 4π dada por partes em (−2π,2π) e pede a expansão em série de Fourier. O conteúdo é séries de Fourier de funções periódicas e vamos precisar usar a definição dos coeficientes para período 2L, com L=2π, além de explorar a paridade de f.

Passo 2

Observamos que f(x) é ímpar, pois f(−x)=−f(x) em todo o domínio. Para funções ímpares de período 2L só aparecem termos de seno na série. Usamos a forma geral
f(x)=sumn=1^inftybnsinl(tfracnpi xLr)
com
bn=1Lintegral-L^Lf(x),sinl(tfracnpi xLr),dx
e aqui L=2π, então os senos ficam sin(nx/2) e
bn=12πintegral-2π^2πf(x),sinl(tfracn x2r),dx

Passo 3

Para aproveitar a ímparidade simplificamos para
bn=1πintegral0^2πf(x),sinl(tfracn x2r),dx
E como f é definida por partes em [0,2π], separamos em duas integrais:
I1=integral0^πx,sinl(tfracn x2r)dx,
I2=integralπ^2πpi,sinl(tfracn x2r)dx

Passo 4

Calculamos I_1 por partes: seja u=x, dv=\sin(nx/2)dx, então du=dx, v=−\tfrac{2}{n}\cos(nx/2). Assim
I1=-2xncosl(tfracn x2r)|0^π+2nintegral0^πcosl(tfracn x2r)dx =-2πncosl(tfracnπ2r)+4n^2sinl(tfracnπ2r)
Para I_2:
I2=piintegralπ^2πsinl(tfracn x2r)dx =-2πnl[cosl(tfracn x2r)r]π^2π =-2πnl(cos(nπ)-cos(tfracnπ2)r)

Passo 5

Somando I_1+I_2 e lembrando que cos(nπ)=(-1)^n, obtemos
I1+I2=-2πn(-1)^n+4n^2sinl(tfracnπ2r)
e assim
bn=1π(I1+I2)=-2(-1)^nn+4πn^2sinl(tfracnπ2r)

Passo 6

Portanto a expansão de Fourier da função é
f(x)=sumn=1^inftyl[-2(-1)^nn+4pi n^2sinl(tfracnπ2r)r]sinl(tfracn x2r)

Resposta

f(x)=sumn=1^inftyl(-2(-1)^nn+4pi n^2sinl(tfracnpi2r)r)sinl(tfracn x2r)

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