Calcule
onde
é a curva definida pelo gráfico de
, no intervalo
, percorrido de
a (
).
Passo 1
Estamos lidando com uma integral de linha de uma forma diferencial ∫C P dx + Q dy, onde P(x,y)=xy−x² e Q(x,y)=e^{3y²}+1, sobre a curva C dada por y=sen x, 0≤x≤π, indo de (0,0) a (π,0). O conteúdo é integral de linha de campos vetoriais e vamos usar parametrização para transformar em integral em variável única.
Passo 2
Parametrizamos C por x=t, y=sen t, com t ∈ [0,π]. Então dx=dt e dy=cos t dt. A integral fica
Passo 3
Agora separamos em quatro integrais mais simples:
- ∫_{0}^{π} t sin t dt, 2. −∫_{0}^{π} t² dt, 3. ∫_{0}^{π} e^{3 sin² t} cos t dt, 4. ∫_{0}^{π} cos t dt.
Usamos integração por partes na primeira, fórmula direta na segunda e a substituição u=sin t nas terceira (que dá zero, pois é primitiva avaliada em 0 a 0) e na quarta.
Passo 4
Calculamos cada parte:
- ∫_{0}^{π} t sin t dt = [−t cos t + sin t]_{0}^{π} = π,
- −∫_{0}^{π} t² dt = −π³/3,
- ∫_{0}^{π} e^{3 sin² t} cos t dt = 0,
- ∫_{0}^{π} cos t dt = [sin t]_{0}^{π} = 0.
Somando: π − π³/3 + 0 + 0.
Passo 5
Portanto o valor da integral é π − π³/3.