Assuma que a expressão exp (x+y+z)+x y z=1 define implicitamente z como função de x ey. Calcule partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem um exercício aqui que envolve derivadas parciais e diferenciação implícita. A equação dada é exp(x+y+z) + xyz = 1, e precisamos descobrir como z muda quando alteramos x ou y. Ou seja, vamos calcular partial zpartial x e partial zpartial y. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que nos ajuda quando z está ‘escondido’ na equação junto com outras variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a equação inteira em relação a x, tratando y como uma constante. Lembre-se que quando diferenciamos com relação a x, z também pode depender de x, então precisamos usar a regra da cadeia.
A equação original é:
exp(x + y + z) + x y z = 1
Derivando ambos os lados em relação a x:
ddx[exp(x + y + z)] + ddx[x y z] = ddx(1)
Simplificando:
exp(x + y + z) cdot (1 + partial zpartial x) + y z + x y partial zpartial x = 0
Agora, vamos isolar partial zpartial x:
exp(x + y + z) cdot partial zpartial x + x y cdot partial zpartial x = -exp(x + y + z) - y z
Fatorando partial zpartial x:
partial zpartial x [exp(x + y + z) + x y] = -exp(x + y + z) - y z
Finalmente, resolvendo para partial zpartial x:
partial zpartial x = -exp(x + y + z) - y zexp(x + y + z) + x y

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo processo, mas diferenciando a equação em relação a y, tratando x como uma constante.
Derivando ambos os lados em relação a y:
ddy[exp(x + y + z)] + ddy[x y z] = ddy(1)
Simplificando:
exp(x + y + z) cdot (1 + partial zpartial y) + x z + x y partial zpartial y = 0
Isolando partial zpartial y:
exp(x + y + z) cdot partial zpartial y + x y cdot partial zpartial y = -exp(x + y + z) - x z
Fatorando partial zpartial y:
partial zpartial y [exp(x + y + z) + x y] = -exp(x + y + z) - x z
Resolvendo para partial zpartial y:
partial zpartial y = -exp(x + y + z) - x zexp(x + y + z) + x y

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -exp(x + y + z) - y zexp(x + y + z) + x y
e
partial zpartial y = -exp(x + y + z) - x zexp(x + y + z) + x y

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