Assuma que a expressão
define implicitamente
como função de x ey. Calcule
.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem um exercício aqui que envolve derivadas parciais e diferenciação implícita. A equação dada é
, e precisamos descobrir como
muda quando alteramos
ou
. Ou seja, vamos calcular
e
. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que nos ajuda quando
está ‘escondido’ na equação junto com outras variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a equação inteira em relação a
, tratando
como uma constante. Lembre-se que quando diferenciamos com relação a
,
também pode depender de
, então precisamos usar a regra da cadeia.
A equação original é:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Simplificando:
Agora, vamos isolar
:
Fatorando
:
Finalmente, resolvendo para
:
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo processo, mas diferenciando a equação em relação a
, tratando
como uma constante.
Derivando ambos os lados em relação a
:
Simplificando:
Isolando
:
Fatorando
:
Resolvendo para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e