Calcule
em que
é uma curva qualquer ligando o ponto
ao ponto
sem passar pela origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha, que é uma soma contínua ao longo de uma curva. A curva
liga o ponto
ao ponto
e não passa pela origem. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o campo vetorial que está na integral:
Esse campo vetorial é semelhante ao campo que representa a derivada do ângulo polar
em coordenadas polares. Na verdade, temos que:
Então, a integral que queremos calcular é basicamente a variação do ângulo
ao longo da curva
.
Passo 3
Como a curva
não passa pela origem, o ângulo
está bem definido ao longo de toda a curva. Ou seja, podemos calcular a diferença do ângulo no ponto final e no ponto inicial para encontrar o valor da integral.
Passo 4
Vamos calcular os ângulos nos pontos inicial e final:
-
Ponto Inicial
: - Temos
e . - O ângulo
é dado por . - Sabemos que
, então .
- Temos
-
Ponto Final
: - Temos
e . - O ângulo
é dado por . - Sabemos que
, então .
- Temos
Passo 5
Agora, vamos calcular a diferença dos ângulos:
Resposta
A integral vale
.