Calcule integralgamma -yx^2+y^2 d x+xx^2+y^2 d y em que gamma é uma curva qualquer ligando o ponto (3, raiz3) ao ponto (5 raiz3, 15) sem passar pela origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha, que é uma soma contínua ao longo de uma curva. A curva gamma liga o ponto (3, raiz3) ao ponto (5raiz3, 15) e não passa pela origem. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o campo vetorial que está na integral:
F(x, y) = ( -yx^2+y^2, xx^2+y^2 )
Esse campo vetorial é semelhante ao campo que representa a derivada do ângulo polar theta em coordenadas polares. Na verdade, temos que:
dtheta = -yx^2+y^2 dx + xx^2+y^2 dy
Então, a integral que queremos calcular é basicamente a variação do ângulo theta ao longo da curva gamma.

Passo 3

Como a curva gamma não passa pela origem, o ângulo theta está bem definido ao longo de toda a curva. Ou seja, podemos calcular a diferença do ângulo no ponto final e no ponto inicial para encontrar o valor da integral.

Passo 4

Vamos calcular os ângulos nos pontos inicial e final:
  1. Ponto Inicial (3, raiz3):
    • Temos x = 3 e y = raiz3.
    • O ângulo theta1 é dado por tan(theta1) = yx = raiz33 = 1raiz3.
    • Sabemos que tan(pi6) = 1raiz3, então theta1 = pi6.
  2. Ponto Final (5raiz3, 15):
    • Temos x = 5raiz3 e y = 15.
    • O ângulo theta2 é dado por tan(theta2) = yx = 155raiz3 = 3raiz3 = raiz3.
    • Sabemos que tan(pi3) = raiz3, então theta2 = pi3.

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença dos ângulos:
theta2 - theta1 = pi3 - pi6 = pi6

Resposta

A integral vale pi6.

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