Considere
Resolva o PVI: f(t)=cce^t, & se 0 <= t<2 0, & se t >= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com uma condição inicial. A função forçada $ f(t) $ é definida de forma diferente para $ t $ menor que 2 e para $ t $ maior ou igual a 2. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares e transformadas de Laplace, que nos ajudam a resolver esse tipo de problema de forma mais fácil. Vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace e usar as propriedades dela para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
y'' + 4y = f(t)
com as condições iniciais:
y(0) = 0 e y'(0) = 0
Nosso objetivo é encontrar $ y(t) $.

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de $ y’’ $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $, onde $ Y(s) $ é a transformada de $ y(t) $. Aplicando isso, temos:
y''
Substituindo as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ Y(s) $:
Y(s)
Então:
Y(s)(s^2 + 4) = Lf(t)
Precisamos encontrar $ \mathcal{L}{f(t)} $. Como $ f(t) $ é definido por partes, usamos a função degrau de Heaviside para representá-la.

Passo 5

A função $ f(t) $ pode ser escrita usando a função degrau $ u(t) $ assim:
f(t)
Agora, aplicamos a transformada de Laplace a essa expressão:
u(t)
Sabendo que $ \mathcal{L}{e^{at} u(t - a)} = \frac{e^{-as}}{s - a} $, temos:
f(t) = e^t cdot u(t) - e^t cdot u(t - 2)

Passo 6

Substituindo $ \mathcal{L}{f(t)} $ na expressão de $ Y(s) $:
Lf(t)
Agora, precisamos simplificar essa fração para facilitar a inversão da transformada de Laplace.

Passo 7

Vamos separar $ Y(s) $ em duas partes usando frações parciais:
Y(s)
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente.

Passo 8

Para o primeiro termo $ \frac{1}{(s - 1)(s^2 + 4)} $, usamos frações parciais:
1(s - 1)(s^2 + 4)
Resolvendo para $ A $, $ B $ e $ C $, encontramos:
1(s - 1)(s^2 + 4) = As - 1 + Bs + Cs^2 + 4
Então:
A
Aplicando a transformada inversa:
B

Passo 9

Para o segundo termo $ \frac{e^{-2s}}{(s - 1)(s^2 + 4)} $, reconhecemos que é um atraso no tempo de 2 unidades. Usamos a propriedade da transformada de Laplace:
e^-2s(s - 1)(s^2 + 4)
No nosso caso, $ a = 2 $:
L^-1e^-as(s - 1)(s^2 + 4) = u(t - a)[15e^t - a - 15cos(2(t - a)) + 25sin(2(t - a))]

Resposta

Juntando tudo, a solução da equação diferencial é:
y(t) = 15e^t - 15cos(2t) + 25sin(2t) - u(t - 2)[15e^t - 2 - 15cos(2(t - 2)) + 25sin(2(t - 2))]

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