Considere
Resolva o PVI:
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Resolva o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com uma condição inicial. A função forçada $ f(t) $ é definida de forma diferente para $ t $ menor que 2 e para $ t $ maior ou igual a 2. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares e transformadas de Laplace, que nos ajudam a resolver esse tipo de problema de forma mais fácil. Vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace e usar as propriedades dela para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
com as condições iniciais:
Nosso objetivo é encontrar $ y(t) $.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de $ y’’ $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $, onde $ Y(s) $ é a transformada de $ y(t) $. Aplicando isso, temos:
Substituindo as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $:
Passo 4
Agora, vamos resolver para $ Y(s) $:
Então:
Precisamos encontrar $ \mathcal{L}{f(t)} $. Como $ f(t) $ é definido por partes, usamos a função degrau de Heaviside para representá-la.
Passo 5
A função $ f(t) $ pode ser escrita usando a função degrau $ u(t) $ assim:
Agora, aplicamos a transformada de Laplace a essa expressão:
Sabendo que $ \mathcal{L}{e^{at} u(t - a)} = \frac{e^{-as}}{s - a} $, temos:
Passo 6
Substituindo $ \mathcal{L}{f(t)} $ na expressão de $ Y(s) $:
Agora, precisamos simplificar essa fração para facilitar a inversão da transformada de Laplace.
Passo 7
Vamos separar $ Y(s) $ em duas partes usando frações parciais:
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente.
Passo 8
Para o primeiro termo $ \frac{1}{(s - 1)(s^2 + 4)} $, usamos frações parciais:
Resolvendo para $ A $, $ B $ e $ C $, encontramos:
Então:
Aplicando a transformada inversa:
Passo 9
Para o segundo termo $ \frac{e^{-2s}}{(s - 1)(s^2 + 4)} $, reconhecemos que é um atraso no tempo de 2 unidades. Usamos a propriedade da transformada de Laplace:
No nosso caso, $ a = 2 $:
Resposta
Juntando tudo, a solução da equação diferencial é: