Calcule integralgamma xx^2+y^2 d x+yx^2+y^2 d y, (x, y) neq(0,0), sendo gamma o arco de parábola y=x^2+1,-1 <= x <= 2, de (-1,2) a (2,5).

Passo 1

Beleza! Vamos lá. O exercício pede para calcular a integral de linha:
integralgamma xx^2+y^2 , dx + yx^2+y^2 , dy
onde é o arco da parábola no intervalo de até , ou seja, de a .
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais de linha no plano. Precisaremos parametrizar a curva para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = t com t in [-1, 2] . Como a parábola está definida por y = t^2 + 1 , podemos usar como parâmetro. Assim, temos:
Aqui, varia de a , correspondendo aos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de dxdt = 1 e dydt = 2t em relação a :
Essas derivadas nos ajudam a substituir e na integral original.

Passo 4

Substituindo a parametrização e as derivadas na integral, temos:
integralgamma xx^2+y^2 , dx + yx^2+y^2 , dy = integral-1^2 ( tt^2 + (t^2 + 1)^2 cdot 1 + t^2 + 1t^2 + (t^2 + 1)^2 cdot 2t ) dt
Simplificando o denominador:
t^2 + (t^2 + 1)^2 = t^2 + t^4 + 2t^2 + 1 = t^4 + 3t^2 + 1
E o numerador:
tt^4 + 3t^2 + 1 + (t^2 + 1) cdot 2tt^4 + 3t^2 + 1 = t + 2t^3 + 2tt^4 + 3t^2 + 1 = 2t^3 + 3tt^4 + 3t^2 + 1
Então, a integral fica:
integral-1^2 2t^3 + 3tt^4 + 3t^2 + 1 , dt

Passo 5

Observamos que o numerador é a derivada do denominador:
ddt (t^4 + 3t^2 + 1) = 4t^3 + 6t
Perceba que:
2t^3 + 3t = 12 (4t^3 + 6t) = 12 cdot ddt (t^4 + 3t^2 + 1)
Isso nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 6

Substituindo a relação acima na integral:
integral-1^2 2t^3 + 3tt^4 + 3t^2 + 1 , dt = 12 integral-1^2 4t^3 + 6tt^4 + 3t^2 + 1 , dt = 12 integral-1^2 d(t^4 + 3t^2 + 1)t^4 + 3t^2 + 1

Passo 7

A integral agora é uma forma padrão:
integral f'(t)f(t) , dt = ln|f(t)| + C
Aplicando isso:
12 ln|t^4 + 3t^2 + 1| |-1^2

Passo 8

Calculando os limites:
Para t^4 + 3t^2 + 1 = 16 + 12 + 1 = 29 :
t^4 + 3t^2 + 1 = 1 + 3 + 1 = 5
Para 12 [ ln(29) - ln(5) ] = 12 ln( 295 ) :
Então:

Resposta

A integral vale .

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