Beleza! Vamos lá. O exercício pede para calcular a integral de linha:
onde é o arco da parábola no intervalo de até , ou seja, de a .
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais de linha no plano. Precisaremos parametrizar a curva para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como a parábola está definida por , podemos usar como parâmetro. Assim, temos:
Aqui, varia de a , correspondendo aos pontos e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas nos ajudam a substituir e na integral original.
Passo 4
Substituindo a parametrização e as derivadas na integral, temos:
Simplificando o denominador:
E o numerador:
Então, a integral fica:
Passo 5
Observamos que o numerador é a derivada do denominador: