Questão 4 (2 pontos) Se
onde
e
, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a relação entre derivadas parciais de uma função de duas variáveis quando fazemos a mudança de variáveis
e
. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Para calcular
usamos a regra da cadeia:
Como
implica
e
implica
, temos
Passo 3
De modo análogo, para
aplicamos a regra da cadeia:
Como
e
, segue
Passo 4
Basta agora multiplicar as duas expressões obtidas:
Fazendo a expansão da diferença de quadrados, obtemos
que é exatamente o que queríamos mostrar.
Resposta
A igualdade
está demonstrada.