Questão 4 (2 pontos) Se f(x, y)=z onde x=s+t e y=s-t, mostre que
(partial zpartial x)^2-(partial zpartial y)^2=partial zpartial s partial zpartial t

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a relação entre derivadas parciais de uma função de duas variáveis quando fazemos a mudança de variáveis
x=s+t e y=s-t. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Para calcular partial zpartial s usamos a regra da cadeia:
partial zpartial s=partial zpartial xpartial xpartial s+partial zpartial ypartial ypartial s
Como x=s+t implica partial x/partial s=1 e y=s-t implica partial y/partial s=1, temos
partial zpartial s=partial zpartial x+partial zpartial y

Passo 3

De modo análogo, para partial zpartial t aplicamos a regra da cadeia:
partial zpartial t=partial zpartial xpartial xpartial t+partial zpartial ypartial ypartial t
Como partial x/partial t=1 e partial y/partial t=-1, segue
partial zpartial t=partial zpartial x-partial zpartial y

Passo 4

Basta agora multiplicar as duas expressões obtidas:
partial zpartial spartial zpartial t=iggl(partial zpartial x+partial zpartial ygr)gl(partial zpartial x-partial zpartial ygr) 
Fazendo a expansão da diferença de quadrados, obtemos
partial zpartial spartial zpartial t=l(partial zpartial xr)^2-l(partial zpartial yr)^2,
que é exatamente o que queríamos mostrar.

Resposta

A igualdade
(tfracpartial zpartial x)^2-(tfracpartial zpartial y)^2=tfracpartial zpartial s,tfracpartial zpartial t
está demonstrada.

Exercícios relacionados