Calcule integralgamma F cdot d r onde
F(x, y, z)=(y-z, z-x, x-y)
gamma(t)=(a cos t, a sin t, b t), t in[0,2 pi]
Escolha uma opção:
2 pi a(a+b)
2 pi a^2 b
-2 pi a^2
  • -2 pi a^2 b
  • -2 pi a(a+b)

Passo 1

Vamos calcular o integral de linha de vec F ao longo da curva gamma. Primeiro, a curva é dada por gamma(t)=(acos t,asin t,b t) para tin[0,2pi] e o campo é vec F(x,y,z)=(y-z,,z-x,,x-y). Vamos usar a parametrização para transformar integralgammavec Fcdot dvec r numa integral em t.

Passo 2

Calculamos o vetor derivada gamma'(t). Como x=acos t,;y=asin t,;z=b t, temos
gamma'(t)=(-asin t,;acos t,;b)

Passo 3

Substituímos na curva em vec F para obter vec F(gamma(t)):
vec F(gamma(t))=(asin t - b t,;b t - acos t,;acos t - asin t)

Passo 4

Formamos o produto escalar vec F(gamma(t))cdotgamma'(t) e simplificamos:
vec F(gamma(t))cdotgamma'(t)&=(asin t - b t)(-asin t)+(b t - acos t)(acos t)+(acos t - asin t)b &=-a^2(sin^2 t+cos^2 t)+a b,t(sin t+cos t)+a b(cos t-sin t) &=-a^2+a b,t(sin t+cos t)+a b(cos t-sin t)

Passo 5

Agora integramos de 0 a 2pi: separamos em três parcelas. A primeira dá
integral0^2pi-a^2,dt=-2pi a^2
A segunda é
a bintegral0^2pit(sin t+cos t),dt=a b(-2pi+0)=-2pi a b
e a terceira anula-se. Somando tudo, obtemos
-2pi a^2-2pi a b=-2pi a(a+b)

Resposta

-2pi a(a+b)

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