Suponha que o movimento de um determinado sistema massa-mola satisfaz a equação diferencial
e as condições iniciais
Encontre a solução deste problema de valor inicial.
Passo 1
A gente tem a equação diferencial de 2ª ordem com coeficientes constantes
e as condições iniciais
Isso é um problema de valor inicial para ED linear; vamos usar a solução geral como soma da parte homogênea e de uma particular.
Passo 2
Começando pela parte homogênea, a gente monta a equação característica
Aplicando a fórmula de Bhaskara
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular, supomos
Derivando e substituindo em
chegamos ao sistema
Resolvendo, encontra-se
Passo 4
A solução geral fica então
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro em
:
Em seguida derivamos a expressão geral e avaliamos em
:
Passo 6
Com esses valores de
e
, escrevemos a solução final.
Resposta
[
s(t) = e^{-\tfrac12 t}\Bigl(\tfrac{22}{17}\cos t + \tfrac{14}{17}\sin t\Bigr) + \tfrac{12}{17}\cos t + \tfrac{48}{17}\sin t.
]
s(t) = e^{-\tfrac12 t}\Bigl(\tfrac{22}{17}\cos t + \tfrac{14}{17}\sin t\Bigr) + \tfrac{12}{17}\cos t + \tfrac{48}{17}\sin t.
]