Suponha que o movimento de um determinado sistema massa-mola satisfaz a equação diferencial
s^prime prime+s^prime+1,25 t=3 cos t
e as condições iniciais
s(0)=2, s^prime(0)=3
Encontre a solução deste problema de valor inicial.

Passo 1

A gente tem a equação diferencial de 2ª ordem com coeficientes constantes
s'' + s' + 1,25,s = 3cos t
e as condições iniciais
s(0)=2, s'(0)=3
Isso é um problema de valor inicial para ED linear; vamos usar a solução geral como soma da parte homogênea e de uma particular.

Passo 2

Começando pela parte homogênea, a gente monta a equação característica
r^2 + r + 1,25 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara
r = -1 pm raiz1 - 52 = -0,5 pm i
Logo a solução homogênea é
sh(t) = e^-0.5tl(Acos t + Bsin tr)

Passo 3

Para a solução particular, supomos
sp(t) = Ccos t + Dsin t
Derivando e substituindo em
s'' + s' + 1,25,s = 3cos t,
chegamos ao sistema
0,25,C + D = 3, -,C + 0,25,D = 0
Resolvendo, encontra-se
C = 1217, D = 4817

Passo 4

A solução geral fica então
s(t) = sh(t) + sp(t) = e^-0.5tl(Acos t + Bsin tr) + 1217cos t + 4817sin t

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro em t=0:
s(0) = A + 1217 = 2 Longrightarrow A = 2217
Em seguida derivamos a expressão geral e avaliamos em t=0:
s'(0) = B - 0,5A + D = 3 Longrightarrow B - 1117 + 4817 = 3 Longrightarrow B = 1417

Passo 6

Com esses valores de A e B, escrevemos a solução final.

Resposta

[
s(t) = e^{-\tfrac12 t}\Bigl(\tfrac{22}{17}\cos t + \tfrac{14}{17}\sin t\Bigr) + \tfrac{12}{17}\cos t + \tfrac{48}{17}\sin t.
]

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