Calcule
, onde
é a interseção do paraboloide
com o plano
; o sentido de percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de
, no plano
, caminhe no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral de linha
onde
é a curva fechada dada pela interseção do paraboloide
com o plano
. O conteúdo aqui é reconhecer formas diferenciais exatas em
e usar que a integral de uma forma exata sobre curva fechada numa região simplesmente conexa vale zero.
Passo 2
Identificamos a 1-forma
isto é,
,
e
. Para ver se
é exata, verificamos se é fechada, ou seja, se
Calculando:
Como todas as igualdades conferem,
é fechada. Em
, toda 1-forma fechada é exata (domínio simplesmente conexo).
Passo 3
Buscamos a função potencial
tal que
. Integramos:
Derivando em
:
Derivando em
:
Logo
e de fato
.
Passo 4
Como
é curva fechada e
é exata em todo
, vale