Calcule integralgamma x d x+d y+z d z, onde gamma é a interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano z=2 x+2 y-1; o sentido de percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de gamma(t), no plano x y, caminhe no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha
ointgamma x,dx + dy + z,dz
onde gamma é a curva fechada dada pela interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano z=2x+2y-1. O conteúdo aqui é reconhecer formas diferenciais exatas em R^3 e usar que a integral de uma forma exata sobre curva fechada numa região simplesmente conexa vale zero.

Passo 2

Identificamos a 1-forma
omega = x,dx + 1,dy + z,dz,
isto é, P(x,y,z)=x, Q(x,y,z)=1 e R(x,y,z)=z. Para ver se omega é exata, verificamos se é fechada, ou seja, se
partial Ppartial y = partial Qpartial x, partial Ppartial z = partial Rpartial x, partial Qpartial z = partial Rpartial y
Calculando:
partial Ppartial y=0, partial Qpartial x=0; partial Ppartial z=0, partial Rpartial x=0; partial Qpartial z=0, partial Rpartial y=0
Como todas as igualdades conferem, omega é fechada. Em R^3, toda 1-forma fechada é exata (domínio simplesmente conexo).

Passo 3

Buscamos a função potencial f(x,y,z) tal que df=omega. Integramos:
partial fpartial x=x Rightarrow f(x,y,z)=tfrac12 x^2 + g(y,z)
Derivando em y:
partial fpartial y=partial gpartial y=1 Rightarrow g(y,z)=y + h(z)
Derivando em z:
partial fpartial z=h'(z)=z Rightarrow h(z)=tfrac12 z^2 + C
Logo
f(x,y,z)=tfrac12 x^2 + y + tfrac12 z^2 + C,
e de fato df=x,dx+dy+z,dz.

Passo 4

Como gamma é curva fechada e omega é exata em todo R^3, vale
ointgammaomega = 0

Resposta

0

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